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統(tǒng)計(jì)測(cè)試最常見(jiàn)的領(lǐng)域之一是測(cè)試列聯(lián)表中的獨(dú)立性。在這篇文章中，我將展示如何計(jì)算列聯(lián)表，我將在列聯(lián)表中引入兩個(gè)流行的測(cè)試：卡方檢驗(yàn)和Fisher精確檢驗(yàn)。

什么是列聯(lián)表？

列聯(lián)表提供關(guān)于兩個(gè)分類變量的測(cè)量的整數(shù)計(jì)數(shù)。最簡(jiǎn)單的列聯(lián)表是一個(gè)2?×?22×2?頻率表，由兩個(gè)變量產(chǎn)生，每個(gè)變量有兩個(gè)級(jí)別：

組/觀察觀察1觀察2第1組?1?，1?1，1?1?，2?1，2第2組?2?，1?2，1?2?，2?2，2

給定這樣一個(gè)表格，問(wèn)題是第1組是否表現(xiàn)出與第2組相比的觀測(cè)頻率。這些組代表因變量，因?yàn)樗鼈円蕾囉谧宰兞康挠^察。請(qǐng)注意，列聯(lián)表必須是一種常見(jiàn)的誤解2?×?22×2;?它們可以具有任意數(shù)量的維度，具體取決于變量顯示的級(jí)別數(shù)。盡管如此，應(yīng)避免對(duì)具有多個(gè)維度的列聯(lián)表進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，因?yàn)槌渌蛲?，解釋結(jié)果將具有挑戰(zhàn)性。

?數(shù)據(jù)集

要研究列聯(lián)表的測(cè)試，我們將使用warpbreaks數(shù)據(jù)集：

1. data(warpbreaks)

2. head(warpbreaks)

這是一個(gè)包含來(lái)自紡織行業(yè)的三個(gè)變量的數(shù)據(jù)集：中斷描述了羊毛中斷的次數(shù)? 描述了經(jīng)過(guò)測(cè)試的羊毛類型?張力∈?{?L?，M，H}張力∈{大號(hào)，中號(hào)，H}給出了施加在螺紋上的張力（低，中或高）。數(shù)據(jù)集中的每一行表示單個(gè)織機(jī)的測(cè)量值。為了解釋不同織機(jī)的可變性，對(duì)羊毛和張力的每種組合進(jìn)行了9次測(cè)量，數(shù)據(jù)集總共包含9???2???3?=?549?2?3=54?觀察結(jié)果。

分析目標(biāo)

我們想確定一種類型的羊毛在不同程度的緊張情況下是否優(yōu)于另一種羊毛。為了研究我們是否可以找到一些差異的證據(jù)，讓我們來(lái)看看數(shù)據(jù)：

為了研究鏈斷裂數(shù)的差異，讓我們可視化數(shù)據(jù)：

從圖中我們可以看出，總體而言，羊毛B與較少的斷裂相關(guān)聯(lián)。羊毛A似乎特別低劣，因?yàn)榈蛷埩Α?/p>

轉(zhuǎn)換為列聯(lián)表

為了獲得列聯(lián)表，我們首先需要總結(jié)兩種類型的羊毛和三種類型的張力的不同織機(jī)的斷裂。

1. ## ? wool tension breaks

2. ## 1 ? ?A ? ? ? L ? ?401

3. ## 2 ? ?A ? ? ? M ? ?216

4. ## 3 ? ?A ? ? ? H ? ?221

5. ## 4 ? ?B ? ? ? L ? ?254

6. ## 5 ? ?B ? ? ? M ? ?259

7. ## 6 ? ?B ? ? ? H ? ?169

然后我們使用xtabs（發(fā)音為交叉表）函數(shù)來(lái)生成列聯(lián)表：

1. ## ? ? tension

2. ## wool ? L ? M ? H

3. ## ? ?A 401 216 221

4. ## ? ?B 254 259 169

現(xiàn)在，df我們有了應(yīng)用統(tǒng)計(jì)測(cè)試所需的結(jié)構(gòu)。

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

用于確定來(lái)自不同組的測(cè)量值是否獨(dú)立的兩種最常見(jiàn)的測(cè)試是卡方檢驗(yàn)（χ2χ2測(cè)試）和費(fèi)舍爾的精確測(cè)試。請(qǐng)注意，如果測(cè)量結(jié)果配對(duì)，則應(yīng)使用McNemar測(cè)試（例如，可以識(shí)別單個(gè)織機(jī)）。

皮爾遜的卡方檢驗(yàn)

該?χ2χ2test是一種非參數(shù)測(cè)試，可應(yīng)用于具有各種維度的列聯(lián)表。測(cè)試的名稱源自χ2χ2分布，即獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方分布。這是測(cè)試統(tǒng)計(jì)的分布χ2χ2?測(cè)試??

## [1] 7.900708e-07

由于p值小于0.05，我們可以在5％顯著性水平上拒絕測(cè)試的零假設(shè)（斷裂的頻率獨(dú)立于羊毛）。根據(jù)df一個(gè)人的條目，然后可以聲稱羊毛B比羊毛A明顯更好（相對(duì)于經(jīng)紗斷裂）。

調(diào)查Pearson殘差

另一種方法是考慮測(cè)試的卡方值。該chisq.test函數(shù)提供卡方值的Pearson殘差（根） 。與由平方差異產(chǎn)生的卡方值相反，殘差不是平方的。因此，殘差反映了觀測(cè)值超過(guò)預(yù)期值（正值）或低于預(yù)期值（負(fù)值）的程度。在我們的數(shù)據(jù)集中，正值表示比預(yù)期更多的鏈斷裂，而負(fù)值表示更少的斷點(diǎn)：

1. ## ? ? tension

2. ## wool ? ? ? ? ?L ? ? ? ? ?M ? ? ? ? ?H

3. ## ? ?A ?2.0990516 -2.8348433 ?0.4082867

4. ## ? ?B -2.3267672 ?3.1423813 -0.4525797

殘留物表明，與羊毛A相比，羊毛B的低張力和高張力斷裂比預(yù)期的要少。然而，對(duì)于中等張力，羊毛B比預(yù)期的斷裂更多。再次，我們發(fā)現(xiàn)，整體羊毛B優(yōu)于羊毛A.殘留物的值也表明羊毛B對(duì)于低張力（殘差為2.1），高張力（0.41）和中等張力嚴(yán)重（ - 2.8）。然而，殘留物有助于我們識(shí)別羊毛B的問(wèn)題：它對(duì)中等張力的表現(xiàn)不佳。這將如何促進(jìn)進(jìn)一步發(fā)展？為了獲得在所有張力水平下表現(xiàn)良好的羊毛，我們需要專注于改善羊毛B的中等張力。為此，我們可以考慮使羊毛A在中等張力下表現(xiàn)更好的特性。

費(fèi)舍爾的確切測(cè)試

Fisher的精確測(cè)試是用于測(cè)試獨(dú)立性的非參數(shù)測(cè)試，通常僅用于測(cè)試?2?×?22×2列聯(lián)表。作為精確顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)isher檢驗(yàn)符合所有假設(shè)，在此基礎(chǔ)上定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。實(shí)際上，這意味著錯(cuò)誤拒絕率等于測(cè)試的顯著性水平，對(duì)于近似測(cè)試，例如χ2χ2測(cè)試。簡(jiǎn)而言之，F(xiàn)isher的精確測(cè)試依賴于使用二項(xiàng)式系數(shù)根據(jù)超幾何分布計(jì)算p值，即通過(guò)

?

p?=?（n1?，1+?n1?，2?1?，1）（n2?，1+?n2?，2?2?，1）（n1?，1+?n1?，2+?n2?，1+?n2?，2?1?，1+?n2?，1）p=（?1，1+?1，2?1，1）（?2，1+?2，2?2，1）（?1，1+?1，2+?2，1+?2，2?1，1+?2，1）

?

由于計(jì)算的因子可能變得非常大，F(xiàn)isher精確檢驗(yàn)可能不適用于大樣本量。

請(qǐng)注意，無(wú)法指定測(cè)試的替代方法，df因?yàn)閮?yōu)勢(shì)比（表示效果大?。﹥H定義為2?×?22×2?矩陣：

?

O?R?=?n1?，1?1?，2/?n2?，1?2?，2?[R=?1，1?1，2/?2，1?2，2

?

我們?nèi)匀豢梢詧?zhí)行Fisher精確檢驗(yàn)以獲得p值：

## [1] 8.162421e-07

得到的p值類似于從中獲得的p值?χ2χ2?測(cè)試并得出相同的結(jié)論：我們可以拒絕零假設(shè)，即羊毛的類型與不同應(yīng)力水平下觀察到的斷裂次數(shù)無(wú)關(guān)。

轉(zhuǎn)換為2乘2矩陣

為了指定備選假設(shè)并獲得優(yōu)勢(shì)比，我們可以計(jì)算三者的測(cè)試?2?×?22×2可以構(gòu)造的矩陣df：

由于替代方案設(shè)置得更大，這意味著我們正在進(jìn)行單尾測(cè)試，其中另一種假設(shè)是羊毛A與羊毛B的斷裂次數(shù)相關(guān)（即我們預(yù)期O?R?>?1?[R>1）。通過(guò)執(zhí)行測(cè)試2?×?22×2表格，我們也獲得了解釋性：我們現(xiàn)在可以區(qū)分羊毛不同的具體條件。然而，在解釋p值之前，我們需要糾正多個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)。在這種情況下，我們進(jìn)行了三次測(cè)試。在這里，我們只需將0.05的初始顯著性水平調(diào)整為0.053=?0.01?6ˉˉˉ0.053=0.016ˉ根據(jù)Bonferroni方法。根據(jù)調(diào)整后的閾值，以下測(cè)試顯著：

## [1] "L vs others"

這一發(fā)現(xiàn)表明，如果應(yīng)力較輕，羊毛B僅顯著優(yōu)于羊毛A.?請(qǐng)注意，我們也可以采用構(gòu)建方法2?×?22×2?矩陣?χ2χ2測(cè)試。隨著χ2χ2?然而，測(cè)試并不是必要的，因?yàn)槲覀兊姆治龌跉埐睢?/p>

摘要：卡方對(duì)費(fèi)舍爾的精確檢驗(yàn)

以下是兩個(gè)測(cè)試的屬性摘要：

標(biāo)準(zhǔn)卡方檢驗(yàn)費(fèi)舍爾的確切測(cè)試最小樣本量大小準(zhǔn)確性近似精確列聯(lián)表任意維度通常為2x2解釋皮爾遜殘差優(yōu)勢(shì)比

通常，F(xiàn)isher精確檢驗(yàn)優(yōu)于卡方檢驗(yàn)，因?yàn)樗且环N精確檢驗(yàn)。如果單個(gè)細(xì)胞的觀察結(jié)果很少（例如小于10），則應(yīng)特別避免卡方檢驗(yàn)。由于Fisher的精確檢驗(yàn)對(duì)于大樣本量和精確度可能在計(jì)算上是不可行的χ2χ2?測(cè)試隨著樣本數(shù)量的增加而增加?χ2χ2在這種情況下，測(cè)試是合適的替代品。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)了χ2χ2?測(cè)試是它更適合維數(shù)超過(guò)的列聯(lián)表?2?×?22×2。

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非常感謝您閱讀本文，有任何問(wèn)題請(qǐng)?jiān)谙旅媪粞裕?/h1>

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