一、整體感受

（一）

1、很基礎(chǔ)，只要根據(jù)隱函數(shù)存在的唯一性定理即可。

2、定理的條件和結(jié)論書(shū)寫(xiě)時(shí)候的一些細(xì)節(jié)需要注意；

（二）

1、具體一些題目還會(huì)結(jié)合Taylor定理的應(yīng)用，必須熟悉；

2、還會(huì)涉及到一些同階無(wú)窮小量的考察等知識(shí)點(diǎn)考察

二、需要復(fù)習(xí)（學(xué)習(xí)）的

1、（上，p58)同階無(wú)窮小等定義再?gòu)?fù)習(xí)

2、冪級(jí)數(shù)公式復(fù)習(xí)【可見(jiàn)之前專(zhuān)欄】

【記誦易錯(cuò)點(diǎn)】：

sinx、arctanx,cosx展成的是（-1）^n,不是（-1）^(n-1)

注意：這一項(xiàng)其實(shí)也是第2組對(duì)ln(1-x)求導(dǎo)得到的結(jié)果??！

得到1/（1-x）=Σx^(n-1) (n從1到+∞）

3、（下，p150+p153）兩種隱函數(shù)存在的唯一性定理

【第一種】

【第二種】

4、（下，p120+p138）中值定理再?gòu)?fù)習(xí)（補(bǔ)充2道習(xí)題的比較來(lái)說(shuō)明，也涉及內(nèi)點(diǎn)等知識(shí)可以復(fù)習(xí)本專(zhuān)欄二、6）

5、再?gòu)?fù)習(xí)Taylor定理的具體內(nèi)容，公式細(xì)節(jié)不要出錯(cuò)。

6、（下，p91+p93）復(fù)習(xí)內(nèi)點(diǎn)等知識(shí)

三、具體題目

1（中南大學(xué)）

第一問(wèn)：就是第一種隱函數(shù)存在的唯一性定理三個(gè)條件的驗(yàn)證.

第二問(wèn)：用上第一種隱函數(shù)存在的唯一性定理的結(jié)論1和3（y=f(x)在原點(diǎn)某領(lǐng)域可導(dǎo)，這一點(diǎn)書(shū)寫(xiě)時(shí)注意，不要寫(xiě)錯(cuò)），去判斷極值，算y'(0)=0,y"(0)>0,說(shuō)明是極小值點(diǎn)，而且極值為0（由結(jié)論1：y(0)=0得到）

注：求導(dǎo)有個(gè)注意點(diǎn)，這里y是關(guān)于x的函數(shù)，不是常量，所以求導(dǎo)時(shí)候特別注意，y'(x)利用到結(jié)論3，=-Fx/Fy!!!

第三問(wèn)：由于二階導(dǎo)式子右端可以求導(dǎo)，再去求三階導(dǎo)，為了求y，y用Taylor定理展開(kāi)；同時(shí)對(duì)于sinx這一項(xiàng)也使用Taylor展開(kāi)到三次項(xiàng)，因?yàn)榉帜甘侨雾?xiàng)。

（好好復(fù)習(xí)一下三角函數(shù)的Taylor展開(kāi)，具體可回顧之前我做的專(zhuān)欄“體悟常見(jiàn)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的記憶方法”，對(duì)于記憶方法可以再次復(fù)習(xí)，充分利用本題復(fù)習(xí)）

2（中科大）

思路：求偏微分方程在某一點(diǎn)的取值，關(guān)鍵就是要求出zx和zy，代入，最后把（x0,y0）代入。

具體做法：

①先對(duì)方程兩邊分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)，利用φ’>0，約掉它。

②求解出zx和zy

③代入式子，化簡(jiǎn)；最后把（x0,y0）代入即可。

3（安徽大學(xué)）

思路：驗(yàn)證第二種隱函數(shù)存在的唯一性定理?xiàng)l件1+2+3，得到結(jié)論1(得到唯一性）+3（得到zx,zy）.再去求zxx,zxy,zyy.（這是為了Taylor定理展開(kāi)需要做的鋪墊，需要去求的）最后利用Taylor定理展開(kāi)到二階即可。

做法：

①先驗(yàn)證第二種隱函數(shù)存在的唯一性定理?xiàng)l件1+2+3

②得到二種隱函數(shù)存在的唯一性結(jié)論1和3(得到唯一性+得到zx,zy）.

③代入（0，0，0）到zx,zy中，得到zx（0，0）=-2/3,zy(0,0)=0

(注：z(x,y)只有兩個(gè)變量！！不是三個(gè)！！書(shū)寫(xiě)時(shí)候要注意！）

④同時(shí)依據(jù)zx和zy的表達(dá)式關(guān)于x和y繼續(xù)求偏導(dǎo)，得到zxx,zxy,zyy.再將（0，0，0）代入這三個(gè)式子，得到

zxx(0,0)=0,zxy(0,0)=0,zyy(0,0)=-2/3.

⑤寫(xiě)出Taylor定理展開(kāi)到二階的公式，再代入上述已經(jīng)求得的相關(guān)內(nèi)容，得到最后結(jié)果。注意o后面的次方要寫(xiě)清楚，不要漏寫(xiě)、也不要錯(cuò)寫(xiě)。

4（西安交大）

第1問(wèn)：利用單調(diào)性，引入新變量t,記g(t)=xt-ln(x+t),t≥0.

于是這個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)，而且一階導(dǎo)>0，說(shuō)明g(t)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增，同時(shí)g(0)=-lnx<0,g(1)=x-ln(x+1)>0.利用g(t)在這個(gè)區(qū)間（0，1）上嚴(yán)格遞增，必然有一個(gè)y∈（0，1）,而且這個(gè)y是唯一的，得以驗(yàn)證唯一確定。

第2問(wèn)：就是第一種隱函數(shù)存在的唯一性定理的三個(gè)條件的驗(yàn)證

第3問(wèn)：利用到同階無(wú)窮小的證明思路，做一個(gè)除法去比較，中間過(guò)程會(huì)利用到題干的條件以及一些等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)換，最后化成xy/lnx當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)的極限。

這里再利用一下迫斂性，1=lnx/lnx<ln(x+y)/lnx<ln(x+1)/lnx,兩邊極限趨于1，中間那個(gè)式子極限就是1，同時(shí)利用ln(x+y)=xy（題干條件），便得到最后極限為1，說(shuō)明是同階無(wú)窮小。

（復(fù)習(xí)同階無(wú)窮小的相關(guān)概念）