up主初入大學(xué)，深知大學(xué)學(xué)習(xí)的不易，所以自己整理了幾份資料，分享給大家。這是高數(shù)上的，還有線代和工程化學(xué)的，但是這三個(gè)我都會(huì)只放出第一章的內(nèi)容，剩下的都會(huì)放在我的微信公眾號(hào)：潘一粟的學(xué)習(xí)筆記? ? ?上面，大家可以搜索關(guān)注，并回復(fù)“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”“工程化學(xué)”來獲得相應(yīng)的文章（截止到12.21只更新高數(shù)前兩章，后面會(huì)逐步更新，肯定會(huì)在今年之內(nèi)更新完）

關(guān)于映射與函數(shù)的概念，高中已有學(xué)習(xí)，所以這里不再贅述。

這里補(bǔ)充幾個(gè)高中未涉及的初等函數(shù)

正割secx=1/cosx，余割cscx=1/sinx，余切cotx=1/tanx

常用的公式sec2x-tan2x=1

反三角函數(shù)arcsinx,arccosx,arctanx

注：sin(arcsinx)= x

雙曲函數(shù)：雙曲正弦shx，雙曲余弦chx，雙曲正切thx

關(guān)系：ch2x-sh2x=1,sh2x=2shxchx,ch2x=ch2x+sh2x

反雙曲函數(shù)：

arshx=ln(x+√(x2+1))

archx=ln(x+√(x2-1))

arthx=1/2ln(1+x/1-x)

第二節(jié) 數(shù)列的極限

定義：設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式丨xn-a丨＜ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于a

經(jīng)典題型：證明{xn}收斂于a

經(jīng)典做法：丨xn-a丨=……=f(n)

任意ε>0,為了使丨xn-a丨＜ε成立，只要f(n)<ε,即n＞f(ε)，取N=[f(ε)]，則當(dāng)n>N時(shí)，成立。

定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一

定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么該數(shù)列一定有界

定理3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果數(shù)列收斂于a，且a>0（a<0）,那么存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，都有xn>0(xn<0)

推論 如果數(shù)列從某項(xiàng)起開始≥0（≤0），且數(shù)列收斂于a，那么a≥0（a≤0）

定理4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a

第三節(jié) 函數(shù)的極限

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<丨x-x0丨<δ時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式丨f(x)-A丨<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)丨x丨大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式丨x丨>X時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式丨f(x)-A丨<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限

經(jīng)典例題：證明函數(shù)極限

經(jīng)典做法：和數(shù)列極限異曲同工，而且不會(huì)考的這么簡單，略

定理1（函數(shù)極限的唯一性）如果函數(shù)極限存在，那么它的極限唯一

定理2（函數(shù)的局部有界性）如果函數(shù)在x0收斂于A，那么存在常數(shù)M>0和δ>0，使得當(dāng)0<丨x-x0丨<δ,有丨f(x)丨≤M

定理3（函數(shù)的局部保號(hào)性）如果數(shù)列收斂于A，且A>0（A<0）,存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<丨x-x0丨<δ時(shí)，都有f(x)>0(f(x)<0)

定理3' 如果limf(x)=A(A≠0),那么就存在著x0的某一去心領(lǐng)域，當(dāng)x屬于該去心領(lǐng)域時(shí)，就有丨f(x)丨＞丨A丨/2

推論 如果在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且limf(x)=A，那么A≥0（或A≤0）

定理4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）如果函數(shù)極限存在，那么相應(yīng)的數(shù)列也收斂于相同值

第四節(jié) 無窮小與無窮大

定義1 如果函數(shù)趨向于x0或∞的極限為0，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x趨向于x0或∞時(shí)的無窮小

定理1 在自變量的同一變化過程中，函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+α，其中α是無窮小

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)M（不論它怎么大），總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<丨x-x0丨<δ時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式丨f(x)丨＞M，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的無窮大

鉛直漸近線：垂直于x軸的漸近線

補(bǔ)充：斜直漸近線的算法：k=limf(x)/x,b=lim[f(x)-kx]

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)是無窮大，1/f(x)就是無窮?。环粗嗤?/p>

第五節(jié) 極限運(yùn)算法則

定理1 兩個(gè)無窮小的和是無窮小

定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

推論2 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小

定理3 關(guān)于極限的加減乘除，這個(gè)大家都很熟悉了，不贅述

推論1 求極限時(shí)，常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)外面

推論2 指數(shù)也可以提到外面

定理6（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若lim(x→x0)g(x)=u0,lim(u→u0)f(u)=A，且存在δ0＞0，當(dāng)x∈U°(X0,δ0)時(shí)，有g(shù)(x)≠u0，則lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A

第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限

夾逼準(zhǔn)則 夾逼準(zhǔn)則分為數(shù)列部分和函數(shù)部分，本質(zhì)是一樣的，即在x0的某個(gè)去心鄰域，若g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)的極限都相同，那么f(x)也具有極限，且與他們倆個(gè)相同，就像兩個(gè)函數(shù)把f(x)夾逼住了一樣

準(zhǔn)則2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限

重要極限1 lim(x→0)sinx/x=1

重要極限2 lim(x→∞)(1+1/x)^x=e

柯西極限存在準(zhǔn)則 數(shù)列{an}收斂的充要條件：對任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得n,m>N時(shí)，有丨an-am丨＜ε

第七節(jié) 無窮小的比較

觀察limβ/α，如果=0，那么β是α的高階無窮小；=∞，低階無窮??；=c≠0，同階無窮??；=1，等價(jià)無窮小，記作α~β

如果limβ/(α^k)=c≠0,k＞0，那么就是k階無窮小

常用等價(jià)無窮?。?/p>

sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

1-cosx~1/2x2

(1+a)^(1/n)-1~a/n

secx-1~1/2x2

a^x-1~xlna

定理2 可以理解為求極限時(shí)可以分子分母可以用等價(jià)無窮小來替換，不過這里要注意，必須是乘法形式，比如經(jīng)典例題lim(tanx-sinx)/x3，如果把tanx和sinx都用x替換，就變成了0，那就不對了。不過這兩者可以提出來一個(gè)sinx，變成sinx(1/cosx-1)這個(gè)sinx就可以換成x了。

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都是連續(xù)的

無窮間斷點(diǎn)：極限為無窮的

振蕩間斷點(diǎn)：在去心鄰域里變化無限多次的

可去間斷點(diǎn)：左極限等于右極限的

跳躍間斷點(diǎn)：左極限和右極限都存在，但不相等

第一類間斷點(diǎn)：左極限和右極限都存在的，比如可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)

第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1 若兩個(gè)函數(shù)都連續(xù)，則他們的四則運(yùn)算函數(shù)（除法時(shí)分母不能等于0）也連續(xù)

定理2 若一函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么它的反函數(shù)也在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)

定理3 lim f[g(x)]=f [lim g(x)]

基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的

第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（有界性與最大最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值

定理2（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)·f(b)<0），則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使f(ξ)=0

定理3（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的兩端分別取到A和B，那么一定能在對應(yīng)的開區(qū)間找到一個(gè)值，使f(x0)=C,C在A、B之間

定理4（一致連續(xù)性定理）如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一定一致連續(xù)