二、假設我們將球投入到b個箱子里，直到某個箱子中有兩個球。每一次投擲都是獨立的并且每個球落入任何箱子的機會均等。請問投球次數(shù)期望是多少?

文心一言：

這是一個典型的鴿巢原理（Pigeonhole Principle）問題。假設每次投球時，每個箱子有1/b的概率被選中。我們設投球次數(shù)為x。

我們首先考慮，在前x-1次投球中，沒有任何一個箱子中有兩個球的概率。我們可以將這個概率表示為：

P(no two balls in any box | first x-1 throws) = (b-1) / b × (1/b) × ... × (1/b) = (b-1)/b^(x-1)

這個概率表示在前x-1次投球中，每個箱子最多只有一個球的概率。因為每次投球時，每個箱子有1/b的概率被選中，所以前x-1次投球中，每個箱子最多只有一個球的概率是(b-1)/b × (1/b) × ... × (1/b) = (b-1)/b^(x-1)。

根據(jù)鴿巢原理，在第x次投擲時，至少有兩個球會在同一個箱子中的概率是1減去前x-1次投球中沒有任何一個箱子中有兩個球的概率，即：

P(at least two balls in one box | on throw x) = 1 - P(no two balls in any box | first x-1 throws) = 1 - (b-1)/b^(x-1)

根據(jù)鴿巢原理，在第x+1次投擲時，至少有兩個球會在同一個箱子中的概率仍然是1減去前x次投球中沒有任何一個箱子中有兩個球的概率，即：

P(at least two balls in one box | on throw x+1) = 1 - P(no two balls in any box | first x throws) = 1 - (b-1)/b^x

因此，在第x+1次投擲時，至少有兩個球會在同一個箱子中的概率與第x次投擲時相同。這意味著我們可以用第x+1次投擲時的概率來計算期望值。

期望值E(x)等于第x+1次投擲時至少有兩個球會在同一個箱子中的概率乘以x+1：

E(x) = P(at least two balls in one box | on throw x+1) × (x+1) = 1 - (b-1)/b^x × (x+1)

我們可以使用微積分來求解這個期望值的極限值。極限值可以通過將x趨于無窮大來得到：

limit(E(x)) as x approaches infinity = 1/b + 1/(b-1)

因此，期望的投球次數(shù)是1/b + 1/(b-1)。

訊飛星火：

我們可以使用幾何概率的方法來解決這個問題。假設每個箱子有相同的概率被投擲到，即p。那么，投入一個球到某個箱子的概率是1/b,因為有b個箱子。

現(xiàn)在，我們需要找到投入兩個球到同一個箱子的概率。這意味著在前一次投擲中，另一個球沒有落入這個箱子。因此，前一次投擲的概率是1-1/b,而后一次投擲的概率仍然是1/b。所以，投入兩個球到同一個箱子的概率是：

P(2個球在同一箱子) = (1 - 1/b) * (1/b) = 1 - 1/b^2

由于每次投擲都是獨立的，我們可以將這個問題轉(zhuǎn)化為求和問題：

E(投球次數(shù)) = Σ[n * (1 - 1/b^2)] + C(n+1, 2) * (1/b^2)

其中n表示投擲次數(shù)，C(n+1, 2)表示從n+1個球中選擇2個球的組合數(shù)。

為了計算E(投球次數(shù)),我們需要找到使上式成立的b值。注意到當b=1時，這個等式成立：

E(投球次數(shù)) = Σ[n * (1 - 1/b^2)] + C(n+1, 2) * (1/b^2) = n * (n + 1) / 2 + (n + 1) / b^2

當b > 1時，我們可以通過數(shù)值方法求解這個等式。經(jīng)過計算，我們得到：

E(投球次數(shù))≈ 6.389

因此，投球次數(shù)的期望大約是6.389次。

華為盤古：

設投球次數(shù)為N(表示總投球次數(shù))，那么當球投入到b個箱子里時，每個箱子都分配了一份球。因此，我們有:

N = b * 1 / 2

現(xiàn)在我們有兩個球，因此:

N = 2 * 1 / 2

因此，總投球次數(shù)的期望為:

N = 2 * 1 / 2 = 4.5。

因此，當球投入到b個箱子里時，總投球次數(shù)的期望為4.5。

360智腦：

設投球的次數(shù)為n次，則每次投球的期望值是1/2。因為每次投擲都獨立且相等概率地發(fā)生，所以n次投擲的期望也是1/2n=1/2(n+1)。因此，投球次數(shù)的期望是(n+1)/2。

chatglm：

這是一個經(jīng)典的概率問題，可以使用期望值的公式來計算投球次數(shù)的期望。

設投球次數(shù)為 x，每個球落入任何箱子的概率都為 1/b，則 x 的期望值為：

E(x) = Σ[i=1 to x] (1/b) * P(x=i)

其中，P(x=i) 表示在 x 次投擲中，投中 i 個箱子的概率。

由于每次投擲的結(jié)果是獨立的，因此前一次投中某個箱子不會影響下一次投擲的結(jié)果。因此，P(x=i) 可以表示為：

P(x=i) = (b-i)/(b*b)

將 P(x=i) 代入期望值公式中，得到：

E(x) = Σ[i=1 to x] (1/b) * (b-i)/(b*b)

=?Σ[i=0?to?x]?(1/b)?*?(b-i)??

=?b*Σ[i=0?to?x]?(1/b)?-?x*Σ[i=0?to?x]?(1/b)^2

其中，Σ[i=0 to x] 表示求和符號，表示從 0 到 x 的所有整數(shù)。

由于題目要求直到某個箱子中有兩個球為止，因此 x 的取值范圍是 0 到 b。對于每個 x，都有 i=0 的情況，因此要扣除這個次數(shù)。

期望的計算公式中的分母 b*b 表示所有箱子的數(shù)量之和，即 b(b-1)/2。因此，上述公式可以簡化為：

E(x) = bΣ[i=0 to x] (1/b) - xΣ[i=0 to x] (1/b)^2

=?b*(1-(1/b)^x)?-?x*(1/b)^2

最終，投球次數(shù)期望為：

E(x) = b*(1-(1/b)^x) - x*(1/b)^2

其中，b 為箱子的數(shù)量，x 為投球次數(shù)。

chatgpt：

這個問題可以用“生日悖論”或“抽屜原理”來解決。根據(jù)生日悖論，當投擲的次數(shù)超過23次時，存在兩個球落入同一箱子的概率大于0.5；當投擲的次數(shù)超過32次時，存在兩個球落入同一箱子的概率大于0.75。因此，根據(jù)期望的定義，可以估算出投球次數(shù)的期望值，如下所示：

• ??當箱子數(shù)量為b時，第一次投擲必須是一個新的球落入一個空箱子中，概率為b/b=1。第二個球必須落在新的箱子里，概率為(b-1)/b。第三個球有2個選擇：要么落在前兩個球所在的箱子，概率為2/b，要么落在另一個空箱子里，概率為(b-2)/b。以此類推，第i個球有i-1個選擇。因此，投球次數(shù)的期望可以表示為：

E = 1×(b/b) + 2×((b-1)/b) + 3×((2/b)×((b-1)/b) + (b-2)/b) + ... + (i-1)×(i-2)×...×2×((b-1)/b)×(1/b)

簡化上述式子，可以得到：

E = b×(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(b-1))

當b趨近于正無窮時，可以使用自然對數(shù)e的級數(shù)展開式計算上式右側(cè)的和，得到：

E ≈ b×ln(b)

因此，當箱子數(shù)量為b時，投球次數(shù)的期望值約為b×ln(b)次。