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???????在伽利略號(hào)任務(wù)時(shí)期，科學(xué)家們就在使用復(fù)雜的引力彈弓序列把航天器送去不同的行星?？茖W(xué)家們可以用軟件計(jì)算出一個(gè)引力彈弓序列下最佳的發(fā)射日期和飛行時(shí)間，但是卻不能找出最為適合的引力彈弓序列?？茖W(xué)家們?nèi)孕枵页鲆粋€(gè)辦法能夠幫助我們選擇最佳的引力彈弓序列。

? ? ? ?在講述這個(gè)方法前，我們首先需要了解一下引力彈弓的工作原理，并了解一下引力彈弓的基本特征。

什么是引力彈弓？

? ? ? 引力彈弓是指航天器在飛掠行星前后，航天器在日心系下的速度發(fā)生了改變。

????? ?我們知道，當(dāng)航天器飛掠一個(gè)行星時(shí)，其軌道為雙曲線軌道。這與深空探測(cè)器點(diǎn)火加速進(jìn)入的逃逸軌道時(shí)是一樣的。理想狀況下，航天器在飛掠行星后的飛行軌跡將逐漸靠近雙曲線的漸近線，而航天器因?yàn)檫h(yuǎn)離了行星，其速度將逐漸趨于恒定。我們把這個(gè)速度稱(chēng)為雙曲線剩余速度，用于評(píng)判航天器與行星的相對(duì)速度。既然是雙曲線軌道，很明顯航天器飛掠行星前后的雙曲線剩余速度是一樣的。于是，相對(duì)于行星而言，航天器在飛掠前后的速度是沒(méi)有改變的，但是航天器的速度方向發(fā)生了改變。

????? ?航天器相對(duì)于行星速度方向的改變也當(dāng)然會(huì)改變航天器在日心系下的速度，下面的圖很好的解釋了這一現(xiàn)象。圖中VPlanet代表了行星在日心系下的速度矢量，Vin∞和Vout∞分別代表了航天器在飛掠行星前后相對(duì)于行星的雙曲線剩余速度。我們把Vp與Vin∞和Vout∞分別相加，就能得到兩個(gè)長(zhǎng)度不相等的矢量，這就是航天器飛掠行星前后日心系下的速度矢量。

????? ?經(jīng)過(guò)引力彈弓，航天器的日心系速度發(fā)生了變化，軌道形狀、方向和能量也發(fā)生了變化，這樣就使得航天器可以到達(dá)更遠(yuǎn)的地方。

我們能從一次引力彈弓得到什么？

? ?????在一次引力彈弓中，我們通過(guò)查詢(xún)星歷，可以知道引力彈弓時(shí)天體的速度矢量和對(duì)日距離；我們也能通過(guò)測(cè)控知道航天器的雙曲線剩余速度的大小與方向。有了這些，我們就能確定航天器彈弓前后日心系下的速度矢量。這時(shí)，航天器就相當(dāng)于在一個(gè)確定的位置上有一個(gè)確定的速度大小和方向（不考慮軌道指向）。我們就能通過(guò)計(jì)算得到航天器唯一的軌道形狀（半長(zhǎng)軸和偏心率）。也就是說(shuō)，給定了以上數(shù)據(jù)，我們就能確定出航天器在飛掠行星前后軌道的變化情況。

什么是Tisserand圖？

????? ?Tisserand圖是以航天器軌道周期或軌道能量為縱軸，軌道近日點(diǎn)為橫軸的能量等高線圖?？梢杂糜诖_定引力彈弓序列。我們?cè)趫D上隨意取一點(diǎn)，就有確定的軌道周期/軌道能量和近日點(diǎn)，能確定唯一的軌道形狀。

????? ?需要注意的是，由于該類(lèi)圖只用于確定引力彈弓序列，不考慮軌道傾角、行星軌道偏心率和行星相位。下文均如此。

????? ? 我們能看到，圖中有許多曲線，我們拿出其中一條進(jìn)行解釋。

????? ?圖中α為航天器雙曲線剩余速度矢量與行星速度矢量的夾角，取值范圍為[0°,180°]（思考：為什么不是[0°,360°]）。V-∞和V+∞即航天器飛掠前后的雙曲線剩余速度矢量，VPlanet即行星日心系下的速度矢量。

???????圖中是一條“能量”等高線，在這條線上，航天器在飛掠行星時(shí)的雙曲線剩余速度是一致的，此處為5km/s。而不同的飛掠方向使得航天器擁有了不同的軌道形狀。

????? ?我們可以看到，曲線的左端是α=180°時(shí)代表一種軌道形狀的點(diǎn)，曲線的右端是α=0°時(shí)代表另一種軌道形狀的點(diǎn)。在飛掠前后，只有α?xí)l(fā)生改變，相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)在這條曲線上發(fā)生了滑動(dòng)，其代表的軌道形狀也發(fā)生了相應(yīng)的變化。

? ? ? ?但是，航天器單次滑動(dòng)的長(zhǎng)度是有限制的。航天器一次引力彈弓的偏轉(zhuǎn)角的受限制的，過(guò)大的偏轉(zhuǎn)角可能會(huì)使航天器撞擊行星表面或進(jìn)入行星大氣層。我們一般從α=0°開(kāi)始，每過(guò)一個(gè)最大偏轉(zhuǎn)角畫(huà)一實(shí)心點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的曲線段代表單次引力彈弓所能滑動(dòng)的最大范圍。

????? ?若一次引力彈弓偏轉(zhuǎn)有限，可以通過(guò)共振軌道進(jìn)行多次滑動(dòng)。在不施加深空機(jī)動(dòng)和不飛掠其他行星的情況下，航天器通過(guò)共振軌道可以在一條能量等高線上的所有曲線段上滑動(dòng)。

????? ?這時(shí)我們?cè)偌尤肓硪粭l曲線。這是航天器與火星的雙曲線剩余速度為4km/s時(shí)的“能量”等高線。

????? ?這兩條曲線存在交點(diǎn)。假如航天器的軌道形狀位于其交點(diǎn)上，就意味著航天器處于地球與火星的一條轉(zhuǎn)移軌道上（不考慮行星相位）。其中飛掠地球時(shí)的雙曲線剩余速度為5km/s，飛掠火星時(shí)的雙曲線剩余速度為4km/s。假如我們?cè)诘厍虻倪@條曲線上，我們可以通過(guò)引力彈弓讓航天器所處的點(diǎn)“滑動(dòng)”到此交點(diǎn)上，就能夠進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，甚至能繼續(xù)與火星交會(huì)，并使點(diǎn)在火星的曲線上“滑動(dòng)”。

???????通過(guò)把航天器的飛行化為點(diǎn)的“滑動(dòng)”，我們就能在一個(gè)完整的金星、地球、火星、木星Tisserand圖上找到一條適合的引力彈弓序列。如果是要節(jié)省逃逸燃料，我們需盡可能處于能量較低的地球能量等高線上。

????? ?注：航天器從地球出發(fā)就相當(dāng)于出現(xiàn)在地球能量等高線上的任意一點(diǎn)。我們可以選擇所處的能量等高線，也可以選擇不同的逃逸方向。

? ??? ?太陽(yáng)系外層的彗星經(jīng)常會(huì)飛掠木星，就會(huì)出現(xiàn)引力彈弓現(xiàn)象。通過(guò)Tisserand圖，可以確定彗星是否曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)引力彈弓，是否就是之前所觀測(cè)到的彗星。

????? ?許多玩過(guò)KSP的人都會(huì)在使用引力彈弓時(shí)遇到以下情況：引力彈弓有時(shí)無(wú)論怎么調(diào)都只能升軌或降軌。這是因?yàn)橐粭l能量等高線不是無(wú)限延伸的，也許航天器所代表的點(diǎn)正在處于曲線的兩頭。此時(shí)航天器的軌道與行星軌道相切，無(wú)論怎么調(diào)整方向，航天器所代表的點(diǎn)只會(huì)向中間滑動(dòng)。如果你想在這種情況下繼續(xù)變軌，就需要進(jìn)行深空機(jī)動(dòng)、或借助其他行星的引力彈弓，進(jìn)入另一條能量曲線。

參考資料

[1]袁建平. 航天器深空飛行軌道設(shè)計(jì). [M]. 中國(guó)宇航出版社. 2014.??

[2]de la Torre Sangrà David,Fantino Elena,Flores Roberto,Calvente Lozano Oscar,García Estelrich Celestino. An automatic tree search algorithm for the Tisserand graph[J]. Alexandria Engineering Journal,2021,60(1).

[3]The First Planetary Probe Encounter of the Earth – NASA’s Galileo on December 8, 1990?| Drew Ex Machina.?https://www.drewexmachina.com/2020/12/08/the-first-planetary-probe-encounter-of-the-earth-nasas-galileo-on-december-8-1990/