就像格羅滕迪克所說(shuō)：“構(gòu)成一個(gè)研究者創(chuàng)造力和想象力的本質(zhì)，是他們聆聽(tīng)事情內(nèi)部聲音的能力?！边@里沒(méi)有等級(jí)高下，沒(méi)有階層之分，在對(duì)未知的探索前人人平等，每個(gè)人都擁有絕對(duì)的自由。每一個(gè)數(shù)學(xué)家愿意孜孜不倦研究數(shù)學(xué)的最主要?jiǎng)恿Σ皇莿e的，是我們享受那種日復(fù)一日，能夠從現(xiàn)實(shí)生活中超越出來(lái)，去聆聽(tīng)，和發(fā)現(xiàn)世界運(yùn)行規(guī)律的時(shí)刻。

——許晨陽(yáng)

烏鴉少年 /文

許晨陽(yáng)稱自己是那種“典型的數(shù)學(xué)家”，他不使用軟件，只使用紙筆、粉筆和黑板。當(dāng)你路過(guò)他的辦公室時(shí)，可能只會(huì)看到他踱來(lái)踱去，陷入沉思。

穿過(guò)校園去買一杯咖啡，或者從公寓走到辦公室，這樣的散步是他思考過(guò)程中必不可少的一部分。最近剛獲得麻省理工學(xué)院（MIT）數(shù)學(xué)系終身教授席位的許晨陽(yáng)說(shuō)：“我思考數(shù)學(xué)的方式是在頭腦中產(chǎn)生很多圖像。如果需要一張更清晰的圖像，我可能會(huì)畫一些東西，做一些計(jì)算。當(dāng)我散步時(shí)，就會(huì)思考這些圖像。”這樣的散步有時(shí)會(huì)把他帶到同事的辦公室?！斑@里有那么多優(yōu)秀的頭腦，我經(jīng)常會(huì)跟系里的同事們交流?！?/p>

一 ? 在代數(shù)與幾何的交叉處

許晨陽(yáng)的研究方向是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何是兩種數(shù)學(xué)分支的融合，一端是代數(shù)——關(guān)于方程的研究，另一端是幾何——關(guān)于形狀的研究。代數(shù)幾何所做的就是將抽象的代數(shù)中解決問(wèn)題的方法應(yīng)用到幾何中復(fù)雜而具體的形狀、曲面、空間和曲線。許晨陽(yáng)曾經(jīng)這樣解釋：“代數(shù)幾何是我們想用代數(shù)的方法來(lái)看幾何，拿這個(gè)工具來(lái)交換幾何的靈魂?！?/p>

代數(shù)幾何的基本問(wèn)題是對(duì)一組多項(xiàng)式方程的解集進(jìn)行分類，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是對(duì)空間進(jìn)行分類。其研究的基本對(duì)象名為代數(shù)簇（algebraic variety），也就是多項(xiàng)式方程組的解集的幾何表示。線性方程 y= x+2 在坐標(biāo)平面上表示的直線，方程 x2+y2=1 表示的圓，以及 x2+y2+z2=1 表示的三維空間中的球面都是代數(shù)簇的例子。但是代數(shù)簇可以復(fù)雜得多，甚至還可以存在于更高的維度。

而雙有理幾何（Birational geometry）就是通過(guò)變換代數(shù)簇對(duì)其進(jìn)行分類的一種方法。這個(gè)變換的過(guò)程就像是割補(bǔ)：從一個(gè)有著獨(dú)特形式的代數(shù)簇開(kāi)始，切掉它凹凸不平的地方，讓一些褶皺變得平滑，最終得到一種更普遍的形狀。經(jīng)過(guò)一番割補(bǔ)，許多最初截然不同的代數(shù)簇將變得相同，這時(shí)候，我們說(shuō)它們屬于同樣的雙有理等價(jià)類（birational equivalence class）。

數(shù)學(xué)家蒂莫西·高爾斯（Sir William Timothy Gowers）曾用更加形象的語(yǔ)言描述了代數(shù)幾何在天文學(xué)中的作用：

“盡管人們現(xiàn)在已經(jīng)接受時(shí)空是彎曲的，但也有可能正像地球表面的山巒和谷地一樣，我們所觀測(cè)到的曲率只不過(guò)是某個(gè)更為龐大、更為對(duì)稱的形狀上的小攝動(dòng)。天文學(xué)中一個(gè)重大的未決問(wèn)題就是去確定宇宙的大尺度形狀，即將恒星、黑洞等造成的彎曲熨平后宇宙的形狀。它是仍然像大球面一樣是彎曲的呢，還是像我們自然而然卻很可能錯(cuò)誤地想象的那樣，是平坦的呢？”

通過(guò)散步以及與同事們的交談，許晨陽(yáng)專注于用雙有理幾何的方法，在高維空間為這些代數(shù)簇分類。許晨陽(yáng)說(shuō)：“我喜歡和這個(gè)研究領(lǐng)域內(nèi)的其他數(shù)學(xué)家交談。我們討論一會(huì)兒，然后回去獨(dú)自思考，遇到新的困難，再繼續(xù)討論。所以我的大多數(shù)論文基本上都是合作的成果。”

這樣的合作幫助許晨陽(yáng)將研究引向了一個(gè)新的方向，從而發(fā)展出法諾簇（Fano variety）的k-穩(wěn)定性這一新理論。法諾簇是三種雙有理等價(jià)類中的一種。k-穩(wěn)定性則被許晨陽(yáng)描述為是“為微分幾何研究而發(fā)明的一種代數(shù)定義”。八年前，他將一部分精力投入于k-穩(wěn)定性的研究，試圖用代數(shù)幾何的工具，發(fā)展出一套基于k-穩(wěn)定性的代數(shù)理論。之后經(jīng)過(guò)幾年的間隔，由于與合作者普渡大學(xué)數(shù)學(xué)教授李馳的一番對(duì)話，他才終于回歸了這個(gè)題目。

李馳有更多的微分幾何背景，他將其中的概念轉(zhuǎn)移到了代數(shù)幾何當(dāng)中。這時(shí)候許晨陽(yáng)意識(shí)到，k-穩(wěn)定性是一個(gè)很重要的研究題目。自此之后，他們做出了比四五年前預(yù)期的更多的工作。2014年，兩人共同發(fā)表了一篇關(guān)于“法諾簇的k-穩(wěn)定性”的論文，引用次數(shù)頗高，在雙有理代數(shù)幾何領(lǐng)域提出了一個(gè)全新的理論。這項(xiàng)工作展示了許晨陽(yáng)研究數(shù)學(xué)的方式：在解決具體問(wèn)題之前，先發(fā)展新理論。

許晨陽(yáng)說(shuō)：“在我所在的領(lǐng)域，有些問(wèn)題已經(jīng)存在了40年，大家都在努力試圖解決。這些問(wèn)題也留在我的腦袋里。我做數(shù)學(xué)的方式是跟著理論，不是依靠技術(shù)去解決一個(gè)問(wèn)題，而是首先發(fā)展理論。然后我們就會(huì)用一種全新的眼光看見(jiàn)新的東西。每當(dāng)找到一套新理論，我都會(huì)用舊的經(jīng)典問(wèn)題來(lái)檢驗(yàn)它是否有效?！?/p>

二 ? 數(shù)學(xué)很美，也很深?yuàn)W

許晨陽(yáng)在四川成都附近長(zhǎng)大，從小就喜歡數(shù)學(xué)。“我參加了一些數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，成績(jī)還不錯(cuò)，但不是金牌得主?！彼χf(shuō)道。不過(guò)他無(wú)疑具有足夠的天賦，并且在北京大學(xué)獲得了學(xué)士和碩士學(xué)位。

進(jìn)入大學(xué)后，許晨陽(yáng)開(kāi)始學(xué)習(xí)更高階的數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)很美，也很深?yuàn)W。“對(duì)我而言，數(shù)學(xué)的很大一部分是藝術(shù)而非科學(xué)?！痹诒本┐髮W(xué)學(xué)習(xí)的最后階段，他越來(lái)越多地專注于代數(shù)幾何。一方面，他非常喜歡幾何，想要做一些與幾何相關(guān)的課題。另一方面，他發(fā)現(xiàn)自己很擅長(zhǎng)代數(shù)的技巧和方法。因此，用代數(shù)的方法來(lái)學(xué)習(xí)幾何非常適合他。

從北京大學(xué)畢業(yè)之后，許晨陽(yáng)來(lái)到普林斯頓大學(xué)攻讀博士學(xué)位，他的導(dǎo)師 János Kollár 是一位杰出的代數(shù)幾何學(xué)家，對(duì)他產(chǎn)生了巨大的影響。“當(dāng)然，我從他身上學(xué)到了很多方法，但更多的是我稱之為‘審美’的那些東西：數(shù)學(xué)中什么問(wèn)題是重要的？“他繼續(xù)解釋說(shuō)，一般而言，處于職業(yè)生涯早期階段的研究生和博士后需要一些可以學(xué)習(xí)的榜樣。做數(shù)學(xué)是很復(fù)雜的事情，在一些節(jié)點(diǎn)上他們需要做出選擇，這需要權(quán)衡一個(gè)特定問(wèn)題的難易程度或有趣程度，需要對(duì)其可操作性有更多實(shí)際的考量。

除了導(dǎo)師Kollár的指導(dǎo)，來(lái)到美國(guó)這樣一個(gè)全新的環(huán)境也促進(jìn)了他的研究。許晨陽(yáng)回憶道：“在那之前，我從來(lái)沒(méi)有離開(kāi)過(guò)中國(guó)，所以經(jīng)歷了一些文化沖擊。那時(shí)侯我還不太了解美國(guó)文化，不過(guò)這在某種程度上讓我更加專注于自己的工作?！?/p>

在2008年獲得博士學(xué)位后，許晨陽(yáng)在麻省理工學(xué)院做了三年的博士后和C.L.E. 摩爾講師（C.L.E. Moore Instructor），之后在北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心擔(dān)任了六年的教授，并于2018年回到麻省理工學(xué)院擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。在這些年的經(jīng)歷中，許晨陽(yáng)展現(xiàn)出了對(duì)于尋找重要問(wèn)題的天賦，成為了所在領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物，并在代數(shù)雙有理幾何領(lǐng)域取得了一系列重大進(jìn)展。

2017年，許晨陽(yáng)憑借在雙有理幾何領(lǐng)域的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)，獲得“未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)”的首個(gè)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)。雙有理幾何領(lǐng)域的一些實(shí)際應(yīng)用包括編碼和機(jī)器人技術(shù)。例如，通過(guò)將一系列二維圖像組合成視野中的類似場(chǎng)景，雙有理幾何技術(shù)被用來(lái)幫助機(jī)器人在三維空間中導(dǎo)航，從而讓機(jī)器人能夠“看見(jiàn)” 我們的三維世界。

由于對(duì)極小模型綱領(lǐng)（Minimal Model Program）的推進(jìn)，并將其應(yīng)用于代數(shù)簇，許晨陽(yáng)獲得了2019年新視野獎(jiǎng)，以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的早期職業(yè)成就。極小模型綱領(lǐng)是雙有理幾何領(lǐng)域的關(guān)鍵理論，于上世紀(jì)80年代初首次提出，其基本思想是通過(guò)在每一個(gè)雙有理等價(jià)類中尋找一個(gè)盡可能簡(jiǎn)單的代數(shù)簇，來(lái)簡(jiǎn)化對(duì)代數(shù)簇的雙有理分類，通俗來(lái)說(shuō)就是將相似的形狀歸為同一類，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。許晨陽(yáng)證明了一系列與極小模型綱領(lǐng)有關(guān)的猜想，將其擴(kuò)展到之前從未測(cè)試過(guò)的某些情況的變體。

他發(fā)展的代數(shù)k-穩(wěn)定性理論被證明是孕育新發(fā)現(xiàn)的沃土。許晨陽(yáng)表示：“我仍然在研究這個(gè)課題，對(duì)我來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)特別有趣的問(wèn)題。”他在證明植根于極小模型綱領(lǐng)的k-穩(wěn)定性相關(guān)的其他關(guān)鍵猜想方面已經(jīng)取得了進(jìn)展。最近，在先前工作的基礎(chǔ)上，他證明了法諾代數(shù)簇的?？臻g的存在性。現(xiàn)在他正在努力為這個(gè)?？臻g的緊致性尋找一個(gè)解決方案。

許晨陽(yáng)說(shuō)：“這對(duì)于解決這個(gè)問(wèn)題非常重要。我希望我們能夠解決問(wèn)題的最后一部分，我很確定，那將會(huì)是我所做過(guò)的最好的工作?！?/p>

參考資料

[1]http://news.mit.edu/2020/chenyang-xu-professor-mathematics-0209

[2] https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/birkar-final.pdf

[3] https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asylum-wins-fields-medal-20180801/

[4] https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_1852889

[5] 數(shù)學(xué)家許晨陽(yáng)：越純粹，越美妙，越自由. 《人物》雜志（2018）

[6] 關(guān)于“法諾簇的k-穩(wěn)定性”的論文：http://dx.doi.org/10.4007/annals.2014.180.1.4