歷史上有許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究過彩虹這一美麗的自然現(xiàn)象，除了能解釋彩虹是因?yàn)楣庠谒沃械恼凵浜头瓷?，還有一些有趣的問題不那么容易回答，比如為什么看到彩虹的仰角為42°？為什么看到的彩虹是完美的半圓形？神奇的現(xiàn)象往往背后蘊(yùn)含著深刻的道理，這也是讓科學(xué)家不懈追求的動力。

撰文 | Marianne Freiberger

翻譯 | 丁玖（密執(zhí)安州立大學(xué)博士，南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)教授）

校對 | 湯濤（南方科技大學(xué)數(shù)學(xué)系講座教授）

當(dāng)偉大的數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓解釋彩虹的顏色與折射時(shí)，詩人約翰·濟(jì)慈嚇壞了。濟(jì)慈抱怨（當(dāng)然通過詩），數(shù)學(xué)解釋打劫了這些魔幻般的“所有規(guī)則和線條的奧秘”的自然奇觀。但是，正如我們下面將看到的，數(shù)學(xué)解釋只需要基本的幾何線條和圓圈，漂亮的數(shù)學(xué)原理和彩虹本身是一樣的優(yōu)雅。

?因折射而彎曲

彩虹的顏色是因光折射而分裂成的一個結(jié)果，就像光線通過棱鏡照射時(shí)所發(fā)生的那樣。從太陽上來的白光是不同頻率電磁波的組合。當(dāng)這些頻率的組合在同一時(shí)間到達(dá)你的眼睛時(shí)，你就能看到白色，當(dāng)你的眼睛捕捉到其它的波時(shí)，你就會感知另一個特定的顏色。

約670至780兆赫頻率之間的光波被視為紫羅蘭色調(diào)，光譜的另一端是波頻率在約400至480赫茲之間，它給出了不同深淺的紅色知覺。而所有其它顏色均來自這兩個頻段之間的頻率。一般來說，人眼不能感知所有頻率的電磁波。

圖1：可見光譜從紫色（左）到紅色（右）

當(dāng)一縷陽光碰到一個球形水滴，它的一部分將從液滴的表面反射，但另一部分將進(jìn)入它。當(dāng)進(jìn)入時(shí)，光線會彎曲或折射，這是將吸管插進(jìn)一杯水時(shí)看到的同樣現(xiàn)象。然后光線將繼續(xù)行進(jìn)直到液滴的后部。這時(shí)有些光線會離開水滴出去，但有些將被反射回來到液滴的另一邊，并在這一過程中再次折射。（見圖2）

圖2：一條光線被折射，反射，然后再次折射。

折射是一縷光線從一種介質(zhì)傳遞到另一種介質(zhì)而速度放緩的一個結(jié)果。一個非常粗略的類比是想象將一個購物推車以某種角度從路上推向草地：推車因?yàn)樽矒舨莸貙⑹紫确啪彛缓蟾淖兎较颉?/p>

當(dāng)太陽光通過一個真空（很好的近似是通過空氣），所有頻率以每秒約30萬公里的相同速度 c 行進(jìn)。當(dāng)光線入水時(shí)，頻率不變因而顏色也保持不變。然而，它的速度會改變，其數(shù)額取決于頻率。這是因?yàn)樗脑咏Y(jié)構(gòu)與不同頻率的波的相互作用不同。頻率為f的光的速度放緩的一個度量由折射率 nf, w ?給出。它的值不僅取決于頻率 f，也取決于光線進(jìn)入的介質(zhì)（在這種情況下，是水，并用下標(biāo)w 所示）。該指數(shù)被定義為

頻率 f 變化時(shí)折射率幾乎沒有變化：nf, w 在頻譜紫羅蘭端約為1.34，而在紅色端為1.33左右。但這個小變化可以讓我們看到在彩虹中所看到的陽光分成顏色漂亮的光譜。（折射率也隨溫度略有變化，但這里我們可以忽略它。）

圖3：不同頻率的光有不同的折射

不同頻率的光進(jìn)入液滴彎曲多大由Snell定律描述。該定律說，折射光線位于由入射光線和入射點(diǎn)法線所形成的平面上，法線是通過射線撞擊液滴的那點(diǎn)并和液滴表面垂直的那條線。由于我們假設(shè)是球形的液滴，在這種情況下，法線是連接液滴中心和入射點(diǎn)的擴(kuò)展半徑。

圖4：包含入射光線和折射光線的水滴的橫截面。Snell定律表明角度α和β有關(guān)系。

Snell定律也告訴我們，光線折射的角度由下列方程決定：

這里α和β是如圖4所示的角度，nf, w 和 nf, a 是頻率為f的光分別在空氣和水中的折射率。由于空氣非常類似真空，它的折射率 nf, w 對所有的頻率幾乎等于1。因此，如果光線以角度α=45°碰到液滴，則折射率為1.33的紅光對應(yīng)的角度β為

上面的結(jié)果四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后兩位。折射率為1.34的紫外線光有

正是這些不同頻率的光導(dǎo)致的不同折射角度，給出了彩虹的不同顏色。

捕捉彩虹光

但是，為什么我們看到的顏色形成一個完美的圓?。恳私獠屎绲男螤?，我們假定來自太陽的光可以看成一束平行光線并射向一個特定的水滴。使用Snell定律和反射律（即入射角等于反射角），我們可以計(jì)算出一根射線偏離它第一次進(jìn)入液滴時(shí)的角α多少。換句話說，當(dāng)它被折射、反射，然后再折射后以什么角度轉(zhuǎn)向（見圖5）。這個角度當(dāng)然因不同頻率或不同顏色的光而異。

圖5：算出的角度偏差

多看一眼圖5你就會信服自己，偏差 Df(α ) 由下面公式

給出。從Snell定律，我們可以在上式中作替換

這里我們把空氣的折射率取為1。圖6顯示了Df(α ) 的圖像，這里對某一特別選取的紅光陰影取折射率 nf, w =1.33。注意在60°左右某個 αm 處它取一極小值。

圖6：DF(α)的圖像

就是這個最小角 αm 給了我們彩虹。圖7顯示了液滴的一個包含一束光線的二維斷面，折射率為 nf, w =1.33。在這個橫截面上以最小角 αm 進(jìn)入的光線用紅色顯示，它被稱為彩虹線。彩虹線附近的光線（角度接近αm）撞擊液滴后，在液滴中行進(jìn)后，會圍繞著彩虹線的附近聚集。

所以，如果你的眼睛正好趕上這液滴后端出現(xiàn)的彩虹線，你會看到一大堆的其它射線，使來自液滴的光顯得特別強(qiáng)烈。由于所有的聚集光線有相同的顏色，如選取的是具有 nf, w =1.33的紅光顏色，則液滴在天空中呈現(xiàn)紅色。

圖7：圖中彩虹線以紅色表示。來自水滴的一簇光線在彩虹線周圍出現(xiàn)，而其它地方出現(xiàn)的光線則更加分散。

新出現(xiàn)的的紅色光線在彩虹線附近聚集這一事實(shí)是 αm 為函數(shù) Df(α) 的極小點(diǎn)的一個結(jié)果。你可以從圖8看到這點(diǎn)。取以極小點(diǎn)為中心的一個區(qū)間 I1 以及以其它點(diǎn)為中心具有同樣長度的另一區(qū)間 I2。對應(yīng)于 I1 內(nèi)的值的角度值偏差范圍（由區(qū)間 J1 給出）比對應(yīng)于 I2 的角度偏差范圍（區(qū)間 J2 ）小得多。這樣，以 I1 中的角度α撞擊液滴的光線會非常稠密，而以 I2 中的角度 α 撞擊液滴的光線將相對比較稀疏。

圖8：區(qū)間J1小于區(qū)間J2

色彩錐

很多個液滴形成了天空中的眾多紅點(diǎn)，由這些你的眼睛就能捕捉到所引出的紅色彩虹線。為了看到在天空中的這些液滴相對于你在哪里，讓我們先算出 αm 的精確值。解方程

找到最小點(diǎn)

對于我們特別選取的紅光陰影，代人 nf, w =1.33給出 αm=59.58°，以及 Df(αm)=137.48°。

現(xiàn)在，如果從一個液滴出現(xiàn)的的一條彩虹線到達(dá)你的眼睛，那么這意味著出現(xiàn)的光線與圖9所示的直線L形成一個角度 rf =180°?137.48°=42.52°。這根光線延自于直接通過你眼睛的陽光線（請記住，我們假定來自太陽的光線是平行的）。讓我們把 rf 稱為彩虹角。當(dāng)然，它依賴于頻率f，因此也依賴于顏色。

圖9：由水滴偏離而來的彩虹線與直線L形成了一個42.52度的傾斜角。

如果把你的眼睛發(fā)出的所有和L相交42.52°角度的光線放在一起，將得到一個圓錐體（見圖10）。所有發(fā)出紅光的液滴都在此錐上；如果不是的話，你將不可能捕捉到它們的紅色彩虹線。但是，當(dāng)你從錐的頂點(diǎn)沿著錐表面看，所有你看到的都是一個圓。你可以通過將一張紙卷成錐形狀并通過尖端的小洞窺視來嘗試這點(diǎn)。彩虹來自錐面上與你的眼睛距離不一的水滴，有的較近有的較遠(yuǎn)。但你的眼睛無法分辨距離，它看到的是紅色光混合在一起形成的一個圓弧，似乎是位于有一定距離的某處。為什么你往往看不到完整的圓呢？這是因?yàn)榈厍虻木壒?。除非你的位置高于天空中的水滴，例如從飛機(jī)上俯視，在這種情況下，你可以看到一個美麗的圓形彩虹。

圖10：你看到的在天空發(fā)光的水滴位于一個圓錐體的表面。

同樣的道理適用于頻譜的所有其它顏色：它們同樣以圓弧狀出現(xiàn)。但不同的折射指數(shù)給予每種顏色不同的彩虹角。例如，紫光的 nf, w =1.34給出αm=59.0°及 Df(αm)=138.93°，因而在這一情形彩虹角為41.07°。因此，彩虹根據(jù)折射率順序來嵌套排列顏色序列，也就是說，按它們的頻率順序排列：從最頂?shù)募t色往下直到最底的紫色。

這種解釋也說明為什么背朝太陽站著時(shí)你只看到一道彩虹：這是你可以捕捉來自于液滴的彩虹光線的唯一途徑。這也解釋了為什么彩虹下面的天空顯出比上面的更明亮。由于絕大多數(shù)的光線離開液滴后高于彩虹線（見圖7），你不會捕捉到彩虹“上面”來自水滴的任何光線（即位于各種顏色的錐的外面）。所以你看不到任何源自這些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到來自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于錐體內(nèi)的水滴）；鑒于此，彩虹下面的天空顯得更亮，它以白光出現(xiàn)，因?yàn)閺牟煌乃蝸淼牟煌伾姆遣屎绻饩€混合在一起會成為白光，并進(jìn)入你的眼睛。

彩虹幾何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也僅僅是你的，雖然站在你旁邊其他人也會看到彩虹，但它一般會來自不同的水滴，因此這將是一個不同的彩虹。

圖11：彩虹

如果你是幸運(yùn)的，有時(shí)候你可能會在略高于主彩虹處看到暗淡一點(diǎn)的第二個彩虹。這個副虹是水滴內(nèi)光線兩次反射的一個結(jié)果。在這種情況下，各種顏色的彩虹角度約為51度，這是為什么副虹在天空看上去高一點(diǎn)的原因。雙反射也意味著副虹的顏色以相反的順序出現(xiàn)，底部為紅而頂部為紫。下面是笛卡兒所作的原始草圖，他天才地首先解釋了彩虹的形狀，包括主虹和副虹。與副虹相關(guān)的雙反射由紅線跟蹤。

圖12：笛卡兒的草圖：主要和次要的彩虹

甚至有可能在理論上（盡管實(shí)際中鮮有發(fā)生）看到來自水滴內(nèi)三、四個或更多的反射產(chǎn)生的彩虹。但我把這些計(jì)算留給讀者們。

本文轉(zhuǎn)載自數(shù)立方網(wǎng)站。原文鏈接：http://plus.maths.org/content/rainbows