【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)37】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，稱為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合積性質(zhì)：
a.當(dāng)a，b，c組成右手系時(shí)，（a，b，c）>0；
b.當(dāng)a，b，c組成左手系時(shí)，（a，b，c）<0；
幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；
性質(zhì)：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實(shí)數(shù)）；
三向量a，b，c共面的充要條件是（a，b，c）=0。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求數(shù)列{an}之極限：an+1=2+1/an（a1>0）.
解：（逆向推導(dǎo)）
由歸納法可知：
a1>0，
若an>0，則an+1=2+1/an>0，所以該數(shù)列為正數(shù)列；
如果{an}是收斂列，即lim an=a，則lim?an+1=lim（2+1/an），即a=2+1/a，解得a=1+2^（1/2）或a=1-2^（1/2），因?yàn)閍n>0，a>0，即a=1+2^（1/2）；
令數(shù)列hn=an-[2^（1/2）+1]，an=hn+2^（1/2）+1，
|hn+1|
=|an+1-[2^（1/2）+1]|
=|2+1/an-[2^（1/2）+1]|
=|1/an-2^（1/2）+1|
=|1/[hn+2^（1/2）+1]-2^（1/2）+1|
=|[1-2^（1/2）]hn/[hn+2^（1/2）+1]|
<=|[1-2^（1/2）]hn/2^（1/2）|
<=|hn/2|
<=……
<=|h1/2^n|，
lim hn=0，則lim?an=1+2^（1/2）.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
若e1，e2，e3是兩兩互相垂直的組成右手系的單位向量. 試證：（e1，e2，e3）=1
證明：
由外積的定義可知e1xe2=e3；
（e1，e2，e3）=（e1xe2）e3=e3^2=1.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
設(shè)A與B都是n級(jí)對(duì)稱矩陣，則對(duì)任意正整數(shù)m，矩陣C=（AB）^mA也是對(duì)稱矩陣。
證：C'=[（AB）^mA]'=（ABA……ABA）'=A'B'A'……A'B'A'=ABA……ABA=（AB）^mA=C，證畢。
到這里！
