本文僅供筆者復習時使用，如有錯誤，歡迎指正，也歡迎討論。

? ? ? ? 2022年11月4日，這注定是2021級數(shù)院同學們難忘的一天，同學們歡聲笑語地走入考場，卻都無不例外的流著淚走出來，就讓我們來看看這份平均分五十多分的試卷到底難在哪。

? ? ? ?1(1)??一上來的第一題就給了滿懷信心的同學們當頭一棒，這玩意兒很難估計，也不能像那樣用和差化積估計。但細心觀察，我們能發(fā)現(xiàn)相鄰兩項間有

，這啟示我們，再結合分母的發(fā)散性可知該級數(shù)發(fā)散。

? ? ? ? 1(2)? 是唯一一道純送，不講。

? ? ? ??第2題，長的很像課本上的例題，那我們就先使用一些常規(guī)操作

? ? ? ? ?原式=?，我們再觀察這個的上界，利用,能得到

原式，令換元，最終我們大概得到階的估計原式，而另一側用類似的方法能得到類似的結果，故原式是與同階的。

? ? ? ? 第3題，只要知道Froulanni公式就不難，不知道的情況下想到換元也是比較顯然的

? ? ? ? 第4題，難算，不寫（?

? ? ? ? 第5題，我在看到題時立馬能想到的有兩個思路，一是利用復變的Liouville定理，二是利用調和函數(shù)的平均值性質，這都是可行的。利用Liouville定理來證明是很簡單的，只需要構造一個復解析函數(shù)，然后再套個exp從而將實部與函數(shù)的模對應起來。而平均值定理的基本思路是利用，然后我們考慮平面上任意兩個點和，其實就是兩個圓盤的差，當圓盤的半徑很大時，兩個圓盤的重合部分占比幾乎是100％（因為未重合部分面積S不會大于一個半徑為圓環(huán)），這樣我們。當然，其實使用平均值定理之后，似乎也可以利用調和函數(shù)的梯度估計，進而類似復變Liouville定理一樣給出u(x)導數(shù)為0的證明。

? ? ? ? 第6題，把p>1的兩分收了就走人（bushi? ?

? ? ? ? 正經(jīng)做的話是將級數(shù)和積分對應起來，考慮?，這兩個鬼東西到底差了多少呢，這就需要我們將在x=n處進行粗略的taylor展開來估計，估計的過程比較復雜，可能一次不行還得估計兩次。但有了這個思路之后應該是能自己做出來的（其實就是偷懶不想寫了），這10分可謂是來之不易啊。