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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

?

實際處理中，發(fā)現(xiàn)金融數(shù)據(jù)存在尖峰厚尾現(xiàn)象。所以我們選擇擾動項服從 t 分布的 t-GARCH 模型來描述波動性過程。t-GARCH(1,1)模型的表達式如下：

模型的參數(shù)向量記為 ? ? ? ? ? ( , , , ) v ,則模型參數(shù)的似然函數(shù)可寫為：

假定 2 0 ? 是常數(shù)，此時，該模型在 t 時刻的條件波動率為：

且方差方程的參數(shù)通過以下限制：

來保證 t h 大于 0。

先驗分布

根據(jù)Luc和Michel(1998) [28]的工作,對參數(shù) ? ? ? , , 取無信息先驗，選取以 0 為中心的柯西 函數(shù)的右半部分作為自由度參數(shù)v的先驗分布：

后驗分布

由貝葉斯公式可知：

其中，先驗密度 ? ?( ) 應(yīng)該至少滿足參數(shù)為正的限制和 ? ?1 的條件。 (1)假設(shè)參數(shù) ? 的先驗分布是 (0, ) 90 M1 上的均勻分布，其中 M1 是大于零的常數(shù)， 且似然函數(shù)的表達式如(2.2)所示，則模型參數(shù) ? 的條件后驗分布表達式如下：

(2)假設(shè)參數(shù) ? 的先驗分布是 (0, ) M2 上的均勻分布，其中 M2 是大于零的常數(shù)，且似然 95 函數(shù)的表達式如(2.2)所示，則模型參數(shù) ? 的條件后驗分布表達式如下：

(3)假設(shè)參數(shù) ? 的先驗分布是 (0, ) M3 上的均勻分布，其中 M3 是大于零的常數(shù)，且 似然函數(shù)的表達式如(2.2)所示，則模型參數(shù) ? 的條件后驗分布表達式如下：

(4)對于參數(shù) v 取半柯西先驗(2.5),它是以 0 為中心的柯西函數(shù)的右半部分，且似然函數(shù) 的表達式如(2.2)所示，所以參數(shù) v 的條件后驗分布表達式如下：

實例分析

我們將貝葉斯估計方法應(yīng)用于（DEM / GBP）外匯對數(shù)收益率的每日觀察值。樣本時間為1985年1月3日至1991年12月31日，共1974個觀測值。此數(shù)據(jù)集已被推廣為GARCH時間序列軟件驗證的非正式基準。從這個時間序列中，前750個觀測值用于說明貝葉斯方法。我們的數(shù)據(jù)集中的觀察窗口摘錄繪制在圖1中。
?

我們對帶有Student-t的GARCH（1,1）模型進行了改進，以擬合此觀察窗的數(shù)據(jù)

1. 


2. function (y, mu.alpha = c(0, 0),

3. Sigma.alpha = 1000 * diag(1,2),

4. mu.beta = 0, Sigma.beta = 1000,

5. lambda = 0.01, delta = 2,

6. control = list())

函數(shù)的輸入自變量是數(shù)據(jù)向量，超參數(shù)，例如：
? 要生成的MCMC鏈數(shù)；默認值1。
? 每個MCMC鏈的長度；?start.val：鏈的起始值的向量；默認值為10000 。?
作為貝葉斯估計的先驗分布。通過設(shè)置控制參數(shù)值n.chain = 2和l.chain = 5000，我們?yōu)?000次傳遞生成了兩條鏈。

1. 


2. > MCMC <- bayg(y, control = list(

3. l.chain = 5000, n.chain = 2))

4. 


5. chain: 1 iteration: 10

6. parameters: 0.0441 0.212 0.656 115

7. chain: 1 iteration: 20

8. parameters: 0.0346 0.136 0.747 136

9. ...

10. chain: 2 iteration: 5000

11. parameters: 0.0288 0.190 0.754 4.67

生成MCMC鏈的跟蹤圖（即，迭代與采樣值的圖）。采樣器的收斂（使用Gelman和Rubin（1992）的診斷測試），鏈中的接受率和自相關(guān)可以如下計算：

1. diag

2. 


3. Point est. 97.5% quantile

4. alpha0 1.02 1.07

5. alpha1 1.01 1.05

6. beta 1.02 1.07

7. nu 1.02 1.06

8. Multivariate psrf

9. 1.02

10. 


11. > 1 - rejectionRate

12. alpha0 alpha1 beta nu

13. 0.890 0.890 0.953 1.000

14. >

15. autocorr.diag

17. alpha0 alpha1 beta nu

18. Lag 0 1.000 1.000 1.000 1.000

19. Lag 1 0.914 0.872 0.975 0.984

20. Lag 5 0.786 0.719 0.901 0.925

21. Lag 10 0.708 0.644 0.816 0.863

22. Lag 50 0.304 0.299 0.333 0.558

收斂診斷沒有顯示最后2500次迭代的收斂證據(jù)。MCMC采樣算法的接受率非常高，從向量a的89％到b的95％不等，這表明分布接近于全部條件。我們丟棄了從MCMC的整體輸出中抽樣前2500次作為預(yù)燒期，僅保留第二次抽樣以減少自相關(guān)，

?

1. > smpl

2. 


3. n.chain : 2

4. l.chain : 5000

5. l.bi : 2500

6. batch.size: 2

7. smpl size : 2500

基本的后驗統(tǒng)計：

1. Iterations = 1:2500

2. Thinning interval = 1

3. Number of chains = 1

4. Sample size per chain = 2500

5. 1. Empirical mean and standard deviation

6. for each variable, plus standard error

7. of the mean:

1. 
   

2. Mean SD Naive SE Time-series SE

3. alpha0 0.0345 0.0138 0.000277 0.00173

4. alpha1 0.2360 0.0647 0.001293 0.00760

5. beta 0.6832 0.0835 0.001671 0.01156

6. nu 6.4019 1.5166 0.030333 0.19833

每個變量的分位數(shù)：

1. 2.5% 25% 50% 75% 97.5%

2. alpha0 0.0126 0.024 0.0328 0.0435 0.0646

3. alpha1 0.1257 0.189 0.2306 0.2764 0.3826

4. beta 0.5203 0.624 0.6866 0.7459 0.8343

5. nu 4.2403 5.297 6.1014 7.2282 10.1204

通過首先將輸出轉(zhuǎn)換為矩陣，然后使用函數(shù)hist，可以獲取模型參數(shù)的邊際分布。

邊緣后部密度顯示在圖3中。我們清楚地注意到直方圖的不對稱形狀。對于參數(shù)n尤其如此。后平均值和中位數(shù)之間的差異也反映了這一點。這些結(jié)果應(yīng)該警告我們，不要濫用漸近論證。在當(dāng)前情況下，即使是750次觀測也不足以證明參數(shù)估計量分布的漸近對稱正態(tài)近似。
可以通過從聯(lián)合后驗樣本中進行仿真來直接獲得關(guān)于模型參數(shù)的非線性函數(shù)的概率陳述。
特別是，我們可以測試協(xié)方差平穩(wěn)性條件，并在滿足該條件時估計無條件方差的密度。根據(jù)GARCH（1,1）規(guī)范，如果a1 + b <1，則過程是協(xié)方差平穩(wěn)的。值接近1時，過去的沖擊和過去的方差將對未來的條件方差產(chǎn)生更長的影響。
?為了推斷平方過程的持久性，我們僅使用后驗樣本，并為后驗樣本中的每個繪制y [j]生成（a1 [j] + b [j]）。持久性的后部密度繪制在圖4中。直方圖向左傾斜，中值為0.923，最大值為1.050。假設(shè)a1 + b <1，則GARCH（1,1）模型的無條件方差為a0 /（1- a1- b）。條件是存在時，后驗均值為0.387，90％可信區(qū)間為[0.274,1.378 ]。經(jīng)驗方差為0.323。

使用聯(lián)合后驗樣本可以獲得關(guān)于模型參數(shù)的其他概率陳述。使用后驗樣本，我們估計條件峰度存在的后驗概率為0.994。在存在條件下，峰度的后均值為8.21，中位數(shù)為5.84，對區(qū)間的95％置信度為[4.12,15.81]，表明尾部比正態(tài)分布更重。條件峰度的后驗正偏是由幾個非常大的值（最大模擬值為404.90）引起的。

先前的限制和常規(guī)改進

控制參數(shù)addPriorConditions可用于在估計期間對模型參數(shù)y施加任何類型的約束。例如，為了確保估計協(xié)方差平穩(wěn)GARCH（1,1）模型，應(yīng)將函數(shù)定義為

1. p<-function(psi)

2. + psi[2] + psi[3] < 1

實用建議

該算法中實施的估算策略是全自動的，不需要對MCMC采樣器進行任何調(diào)整。對于從業(yè)者來說，這無疑是一個吸引人的功能。但是，馬爾可夫鏈的生成非常耗時，因此每天在多個數(shù)據(jù)集上估算模型可能會花費大量時間。在這種情況下，通過在多個處理器上運行單鏈可以輕松地使算法并行化。例如，可以使用foreach包輕松實現(xiàn)此目標（Revolution Computing，2010）。同樣，當(dāng)估計值在更新的時間序列（即具有最近觀測值的時間序列）上重復(fù)時，明智的做法是使用在前一個估計步驟獲得的參數(shù)的后驗均值或中值來啟動算法。初始值（預(yù)燒階段）的影響可能較小，因此收斂速度更快。最后，請注意，與任何MH算法一樣，采樣器可能會卡在給定的值上，因此鏈不再移動。

總結(jié)

本說明介紹了Student-t改進對GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計。我們舉例說明了在匯率對數(shù)收益率上的實證應(yīng)用。