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R語言具有Student-t分布改進(jìn)的GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計

2021-06-07 21:07 作者:拓端tecdat 0人讀過 | 我要投稿

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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

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本說明介紹了具有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計方法。
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介紹

摘要

本說明介紹使用Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型對匯率對數(shù)收益進(jìn)行貝葉斯估計。

自Engle（1982）的開創(chuàng)性論文以來，使用時間序列模型改變波動率的研究一直很活躍。ARCH（自回歸條件異方差）和GARCH（廣義ARCH）類型模型迅速發(fā)展成為80年代預(yù)測波動率的經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷呢S富家族。這些模型是金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的廣泛傳播和必不可少的工具。在Bollerslev（1986）引入的GARCH（p，q）模型中，（金融資產(chǎn)或金融指數(shù)）對數(shù)收益yt在時間t的條件方差假設(shè)用ht表示，它是過去q個對數(shù)返回和過去p個條件方差的平方的線性函數(shù)。更確切地說：

帶有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型基于Nakatsuma（1998）的工作，由Metropolis-Hastings（MH）算法組成，其中分布是根據(jù)平方觀測值由輔助ARMA過程構(gòu)建的。這種方法避免了選擇和調(diào)整采樣算法的耗時且困難的任務(wù)，特別是對于非專家而言。該程序用R編寫，帶有一些用C實現(xiàn)的子例程，以加快仿真過程。該算法的有效性以及計算機(jī)代碼的正確性已通過Geweke（2004）的方法進(jìn)行了驗證。

模型，先驗和MCMC方案

可以通過數(shù)據(jù)擴(kuò)充編寫具有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型，用于對數(shù)收益率fytg。

我們強(qiáng)調(diào)以下事實：在MH算法中僅實現(xiàn)正約束。在仿真過程中沒有施加平穩(wěn)性條件。

為了編寫似然函數(shù)，我們定義向量y =（y1，...，yT）0，v =（v1，...，vT）0和a =（.a0，a1）。我們將模型參數(shù)重新組合為向量y =（.a，b，n）。然后，在定義T×T對角矩陣時

我們可以將（y，v）表示為

貝葉斯方法將（y，v）視為隨機(jī)變量，其特征在于以p（y，v）表示的先驗密度。先驗是在稱為超參數(shù)的參數(shù)的幫助下指定的，這些參數(shù)最初假定為已知且恒定。而且，根據(jù)研究人員的先驗信息，這種密度可能或多或少地提供信息。然后，通過將模型參數(shù)的似然函數(shù)與先驗密度耦合，我們可以使用貝葉斯規(guī)則對概率密度進(jìn)行變換，以得出后驗密度p（y，vjy），如下所示：

該后驗是觀察數(shù)據(jù)后關(guān)于模型參數(shù)的知識的定量概率描述。
我們在GARCH參數(shù)a和b上使用了截距的普通先驗

其中m?和S?是超參數(shù)，1f·g是指標(biāo)函數(shù)，fNd是d維法向密度?？梢园l(fā)現(xiàn)以n為條件的向量v的先驗分布，從而得出

在選擇自由度參數(shù)的先驗分布時，我們遵循Deschamps（2006）的方法。分布是參數(shù)l> 0且d≥2的平移指數(shù)

對于較大的l值，先驗質(zhì)量集中在d附近，并且可以通過這種方式對自由度施加約束。

實現(xiàn)的MCMC采樣基于Ardia（2008）的方法，該方法的靈感來自Nakatsuma（1998）的先前工作。該算法由MH算法組成，其中GARCH參數(shù)按塊更新（a對應(yīng)一個塊，b對應(yīng)一個塊），而自由度參數(shù)是使用優(yōu)化的拒絕技術(shù)從轉(zhuǎn)換后的指數(shù)源密度中采樣的。該方法具有全自動的優(yōu)點。

實例分析

我們將貝葉斯估計方法應(yīng)用于（DEM / GBP）外匯對數(shù)收益率的每日觀察值。樣本時間為1985年1月3日至1991年12月31日，共1974個觀測值。此數(shù)據(jù)集已被推廣為GARCH時間序列軟件驗證的非正式基準(zhǔn)。從這個時間序列中，前750個觀測值用于說明貝葉斯方法。我們的數(shù)據(jù)集中的觀察窗口摘錄繪制在圖1中。
?

我們對帶有Student-t的GARCH（1,1）模型進(jìn)行了改進(jìn)，以擬合此觀察窗的數(shù)據(jù)

function (y, mu.alpha = c(0, 0),
Sigma.alpha = 1000 * diag(1,2),
mu.beta = 0, Sigma.beta = 1000,
lambda = 0.01, delta = 2,
control = list())

函數(shù)的輸入自變量是數(shù)據(jù)向量，超參數(shù)，例如：
? 要生成的MCMC鏈數(shù)；默認(rèn)值1。
? 每個MCMC鏈的長度；?start.val：鏈的起始值的向量；默認(rèn)值為10000 。?
作為貝葉斯估計的先驗分布。通過設(shè)置控制參數(shù)值n.chain = 2和l.chain = 5000，我們?yōu)?000次傳遞生成了兩條鏈。

> MCMC <- bayg(y, control = list(
l.chain = 5000, n.chain = 2))
chain: 1 iteration: 10
parameters: 0.0441 0.212 0.656 115
chain: 1 iteration: 20
parameters: 0.0346 0.136 0.747 136
...
chain: 2 iteration: 5000
parameters: 0.0288 0.190 0.754 4.67

生成MCMC鏈的跟蹤圖（即，迭代與采樣值的圖）。采樣器的收斂（使用Gelman和Rubin（1992）的診斷測試），鏈中的接受率和自相關(guān)可以如下計算：

diag
Point est. 97.5% quantile
alpha0 1.02 1.07
alpha1 1.01 1.05
beta 1.02 1.07
nu 1.02 1.06
Multivariate psrf
1.02
> 1 - rejectionRate
alpha0 alpha1 beta nu
0.890 0.890 0.953 1.000
>
autocorr.diag
alpha0 alpha1 beta nu
Lag 0 1.000 1.000 1.000 1.000
Lag 1 0.914 0.872 0.975 0.984
Lag 5 0.786 0.719 0.901 0.925
Lag 10 0.708 0.644 0.816 0.863
Lag 50 0.304 0.299 0.333 0.558

收斂診斷沒有顯示最后2500次迭代的收斂證據(jù)。MCMC采樣算法的接受率非常高，從向量a的89％到b的95％不等，這表明分布接近于全部條件。我們丟棄了從MCMC的整體輸出中抽樣前2500次作為預(yù)燒期，僅保留第二次抽樣以減少自相關(guān)，

?

> smpl
n.chain : 2
l.chain : 5000
l.bi : 2500
batch.size: 2
smpl size : 2500

基本的后驗統(tǒng)計：

Iterations = 1:2500
Thinning interval = 1
Number of chains = 1
Sample size per chain = 2500
1. Empirical mean and standard deviation
for each variable, plus standard error
of the mean:



Mean	SD Naive SE Time-series SE
alpha0 0.0345 0.0138 0.000277	0.00173
alpha1 0.2360 0.0647 0.001293	0.00760
beta	0.6832 0.0835 0.001671	0.01156
nu	6.4019 1.5166 0.030333	0.19833

每個變量的分位數(shù)：

2.5% 25% 50% 75% 97.5%
alpha0 0.0126 0.024 0.0328 0.0435 0.0646
alpha1 0.1257 0.189 0.2306 0.2764 0.3826
beta 0.5203 0.624 0.6866 0.7459 0.8343
nu 4.2403 5.297 6.1014 7.2282 10.1204

通過首先將輸出轉(zhuǎn)換為矩陣，然后使用函數(shù)hist，可以獲取模型參數(shù)的邊際分布。

邊緣后部密度顯示在圖3中。我們清楚地注意到直方圖的不對稱形狀。對于參數(shù)n尤其如此。后平均值和中位數(shù)之間的差異也反映了這一點。這些結(jié)果應(yīng)該警告我們，不要濫用漸近論證。在當(dāng)前情況下，即使是750次觀測也不足以證明參數(shù)估計量分布的漸近對稱正態(tài)近似。
可以通過從聯(lián)合后驗樣本中進(jìn)行仿真來直接獲得關(guān)于模型參數(shù)的非線性函數(shù)的概率陳述。
特別是，我們可以測試協(xié)方差平穩(wěn)性條件，并在滿足該條件時估計無條件方差的密度。根據(jù)GARCH（1,1）規(guī)范，如果a1 + b <1，則過程是協(xié)方差平穩(wěn)的。值接近1時，過去的沖擊和過去的方差將對未來的條件方差產(chǎn)生更長的影響。
?為了推斷平方過程的持久性，我們僅使用后驗樣本，并為后驗樣本中的每個繪制y [j]生成（a1 [j] + b [j]）。持久性的后部密度繪制在圖4中。直方圖向左傾斜，中值為0.923，最大值為1.050。假設(shè)a1 + b <1，則GARCH（1,1）模型的無條件方差為a0 /（1- a1- b）。條件是存在時，后驗均值為0.387，90％可信區(qū)間為[0.274,1.378 ]。經(jīng)驗方差為0.323。

使用聯(lián)合后驗樣本可以獲得關(guān)于模型參數(shù)的其他概率陳述。使用后驗樣本，我們估計條件峰度存在的后驗概率為0.994。在存在條件下，峰度的后均值為8.21，中位數(shù)為5.84，對區(qū)間的95％置信度為[4.12,15.81]，表明尾部比正態(tài)分布更重。條件峰度的后驗正偏是由幾個非常大的值（最大模擬值為404.90）引起的。

先前的限制和常規(guī)改進(jìn)

控制參數(shù)addPriorConditions可用于在估計期間對模型參數(shù)y施加任何類型的約束。例如，為了確保估計協(xié)方差平穩(wěn)GARCH（1,1）模型，應(yīng)將函數(shù)定義為

p<-function(psi)
+ psi[2] + psi[3] < 1

實用建議

該算法中實施的估算策略是全自動的，不需要對MCMC采樣器進(jìn)行任何調(diào)整。對于從業(yè)者來說，這無疑是一個吸引人的功能。但是，馬爾可夫鏈的生成非常耗時，因此每天在多個數(shù)據(jù)集上估算模型可能會花費(fèi)大量時間。在這種情況下，通過在多個處理器上運(yùn)行單鏈可以輕松地使算法并行化。例如，可以使用foreach包輕松實現(xiàn)此目標(biāo)（Revolution Computing，2010）。同樣，當(dāng)估計值在更新的時間序列（即具有最近觀測值的時間序列）上重復(fù)時，明智的做法是使用在前一個估計步驟獲得的參數(shù)的后驗均值或中值來啟動算法。初始值（預(yù)燒階段）的影響可能較小，因此收斂速度更快。最后，請注意，與任何MH算法一樣，采樣器可能會卡在給定的值上，因此鏈不再移動。

總結(jié)

本說明介紹了Student-t改進(jìn)對GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計。我們舉例說明了在匯率對數(shù)收益率上的實證應(yīng)用。

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參考書目

D.?Ardia?使用GARCH模型的貝葉斯估計進(jìn)行的金融風(fēng)險管理：理論與應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)系統(tǒng)講義第612卷。Springer-Verlag，德國柏林，2008年6月。ISBN978-3-540-78656-6。網(wǎng)址http://www.springer.com/economics/econometrics/book/978-3-540-78656-6。

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