數(shù)學(xué)是競賽的重頭科目，北大清華等一流大學(xué)的數(shù)院匯聚了全國數(shù)學(xué)競賽的獲獎?wù)?。出色的?shù)學(xué)成績也是參加強基計劃的通行證，即便進(jìn)入大學(xué)“高數(shù)”也是必修課。每天被圓錐曲線、函數(shù)、幾何折磨的你對這些數(shù)學(xué)知識點的前世今生又有多少了解呢？這篇文章就帶你揭開數(shù)學(xué)的“廬山真面目”。

本期內(nèi)容：

★數(shù)學(xué)考點與歷史回顧

★專業(yè)設(shè)置與就業(yè)前景

尋根現(xiàn)代數(shù)學(xué)

一位考生通過了北大哲學(xué)系的自招面試，獲得了加20分的優(yōu)惠政策，入校后，他偶然了解到老師當(dāng)時選中他竟然是因為他的數(shù)學(xué)成績很優(yōu)秀。哲學(xué)系的老師為何會看重學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？

如果從數(shù)學(xué)的源頭上來看，哲學(xué)系老師偏愛數(shù)學(xué)好的同學(xué)就不難理解了。

“數(shù)”這個字在西方的希臘語中釋義是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，數(shù)學(xué)思維和哲學(xué)在思維上也有相通之處，比如無限的思維、演繹法、歸納法、定理證明方式等。

有人說“物理的盡頭是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的盡頭是哲學(xué)”，這句話不無道理。學(xué)好數(shù)學(xué)不僅能幫助提高理工科成績，還有助于學(xué)好文科呢！

現(xiàn)代數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，顧名思義，純粹數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)理論；應(yīng)用數(shù)學(xué)希望解決數(shù)學(xué)實際問題。純粹數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域包括數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、群論、幾何、微積分等，這也是數(shù)學(xué)競賽的高頻考點。下面，我們就來看一看這些經(jīng)常難倒大家的考點的歷史。

數(shù)論早期稱為算術(shù)，這門學(xué)科最早是從研究整數(shù)開始的。自古以來，由于整數(shù)在我們的實際生活中應(yīng)用廣泛，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，比如求最大公約數(shù)、勾股定理、某些不定方程整數(shù)解的問題等都是關(guān)于數(shù)論的問題。

在國外，古希臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中最基礎(chǔ)的“整除性”問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列的概念已經(jīng)被提出來了。到了十八世紀(jì)，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，德國數(shù)學(xué)家高斯集前人之大成，寫成了《數(shù)學(xué)探討》一書，這部書的發(fā)表標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。

組合數(shù)學(xué)歷經(jīng)數(shù)千年的發(fā)展歷程，簡單地說，組合數(shù)學(xué)是“按照一定的規(guī)則（模式）來安排一些離散個體”，組合數(shù)學(xué)在生活應(yīng)用方面發(fā)揮著重要作用。比如中國組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出的中國郵差問題：郵遞員要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣走走過的路程最短？

這就是一個典型的組合數(shù)學(xué)問題，管教授給出的解決方法用到了存在多項式復(fù)雜度算法：先求出度為奇數(shù)的點，用匹配算法算出這些點間的連接方式，然后再用歐拉路徑算法求解。

中國最早的組合數(shù)學(xué)理論可以追溯到宋朝時期的“賈憲三角”，后來被楊輝引用，所以普遍稱之為“楊輝三角”。說到“楊輝三角”大家應(yīng)該不陌生，它把二項式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合。

1666年，萊布尼茲所著《論組合的藝術(shù)》一書問世，書中首次使用組合論（combinations）一詞，這是關(guān)于組合論的第一部專著。

群論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的另一個重要分支，什么是“群”呢？舉個例子，整數(shù)集Z，有理數(shù)Q，實數(shù)集R在通常情況下都是群，單位都是0，a的逆元是-a。

群論起源于“解方程”的問題，阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可能的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題，法國數(shù)學(xué)家伽羅華開始接手阿貝爾未盡的事業(yè)，他提出了“群”的概念，用群的理論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，并由此發(fā)展出了一套關(guān)于群和域的問題。

幾何分析是高考和競賽的必考題，其實最早的幾何學(xué)起源于古埃及，尼羅河每年7月會定期泛濫，11月洪水減退后，國王會讓人重新丈量土地確定租金，但是那個時候人們沒有尺子、單位，也不知道面積的計算方法。只能自己摸索如何測量不規(guī)則土地的面積，并用統(tǒng)一的單位記錄，就這樣產(chǎn)生了測量土地的方法，這就是幾何學(xué)的起源。

公元前3世紀(jì)，歐幾里得創(chuàng)造了《幾何原本》，這個課本里不僅包含歐幾里得定理，還包括數(shù)論、代數(shù)、立體幾何方面的知識，它還給出了公理體系、演繹法這種令人驚嘆的方法論，使嚴(yán)密的科學(xué)成為可能，這是整個人類歷史上的偉大成就。

如果讓你測算一個不規(guī)則圖形的面積，你會怎么辦？隨著微積分的誕生，這個問題迎刃而解啦！早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法，這是微積分的先驅(qū)，公元263年，劉徽為《九間算數(shù)》作注時提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周，蘊含著極限的思想。

牛頓和萊布尼茲正式提出了微積分，1605年，牛頓提出了“流數(shù)術(shù)”。1684年，萊布尼茲在《都市期刊》上發(fā)表了關(guān)于微積分的論文。由于牛頓的研究比萊布尼茲早10年，但論文發(fā)表卻晚三年，所以關(guān)于究竟是誰是微積分的原創(chuàng)者的問題曾引起長期爭論，如今我們的共識是微積分是由這二人共同創(chuàng)造的。

回顧了純粹數(shù)學(xué)重要考點的歷史，你是不是也驚嘆于數(shù)學(xué)家們的超強大腦呢？在純粹數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，解決實際問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)也蓬勃發(fā)展。

應(yīng)用數(shù)學(xué)力圖用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，在物理學(xué)、計量化學(xué)和生物計量學(xué)中也有應(yīng)用。數(shù)學(xué)也廣泛應(yīng)用于工程、建筑、電氣系統(tǒng)、金融、計算機等領(lǐng)域。生活中，當(dāng)我們做出理財決策，查看天氣預(yù)報，分析股價走勢時都離不開數(shù)學(xué)知識。應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是純粹數(shù)學(xué)，學(xué)好競賽也有助于我們用數(shù)學(xué)解決實際問題。

專業(yè)設(shè)置與就業(yè)前景

高校的數(shù)學(xué)專業(yè)研究內(nèi)容為純粹數(shù)學(xué)，課程包括數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、微分幾何、概率論、數(shù)論、抽象代數(shù)等，側(cè)重于數(shù)學(xué)理論研究，其中數(shù)分、數(shù)論、幾何也是數(shù)學(xué)競賽的必考試題。北大、清華、北師大、南開、復(fù)旦、浙大、中科大等校的數(shù)學(xué)專業(yè)都是國家一級學(xué)科。

應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)在數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)上強調(diào)利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，培養(yǎng)能在科技、教育和經(jīng)濟(jì)部門從事研究、教學(xué)工作或在生產(chǎn)經(jīng)營及管理部門從事實際應(yīng)用、開發(fā)研究和管理工作的高級專門人才。主要課程既包括基礎(chǔ)數(shù)學(xué)又包括數(shù)學(xué)模型、計算機基礎(chǔ)、數(shù)值方法、物理學(xué)等應(yīng)用型課程。

數(shù)學(xué)世界精彩紛呈，經(jīng)歷了漫長發(fā)展時期的數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶。純粹數(shù)學(xué)探究抽象理論，應(yīng)用數(shù)學(xué)讓我們的生活更美好。學(xué)好競賽數(shù)學(xué)是進(jìn)入純粹或應(yīng)用數(shù)學(xué)的敲門磚，它提高的不僅是你的能力，還有你改變世界的機會！

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