因為這一部分算是實數(shù)理論里比較復(fù)雜且重要，應(yīng)用較廣泛的一部分，所以，我翻了手上庫存的所有教材，大概普遍上，上/下極限有兩種方法定義，然后還有了解一些有趣數(shù)學(xué)符號，有助于數(shù)學(xué)教材的閱讀也是這篇文章的目的之一。

我們先復(fù)習(xí)子列（部分?jǐn)?shù)列）的概念（Ep73）——

子列/部分?jǐn)?shù)列，即從已知數(shù)列{xn}選出一個 全新的數(shù)列，操作如下——

1. 從{xn}選出第一項xn1作為子列的第一項，n1>=1；
   

2. 從{xn1，xn1+1，……}選出xn2作為子列的第二項，n2>n1；

3. 以此類推，……

4. 從{xnk，xnk+1，……}選出xn（k+1）作為子列的第k+1項，n（k+1）>nk；

5. 由此構(gòu)造出{xn}的一個子列。

下面開始介紹上/下極限的定義——

42上限及下限

a.定義一

第一種定義見于《微積分學(xué)教程》和華師版的《數(shù)學(xué)分析》——

以《微積分學(xué)教程》為例——

即將上/下極限定義為所有有極限的子列極限中的最大/小值，在這種定義的情況下，將∞與-∞都看作一個確定的數(shù)字。

b.定義二·

第二種定義被更廣泛采用，基本上常見教材都采用這種定義方式，以常庚哲、史濟懷老師的《數(shù)學(xué)分析教程》為例——

即將上/下極限定義為數(shù)列有極限子列的極限所構(gòu)成集合的上/下確界，在這種定義之下，如果這個集合的上/下確界屬于這個集合本身，那么，即可得出前兩個定義等價。

c.定義三

構(gòu)造數(shù)列的方式，見于張筑生老師的《數(shù)學(xué)分析新講》以及伍勝健的《數(shù)學(xué)分析》，以《數(shù)學(xué)分析新講》為例——

構(gòu)造方式為，依次先構(gòu)造出一系列數(shù)集——

A1={x1，x2，……，xk，……}；

A2={x2，x3，……，xk，……}；

……

An={xn，xn+1，……，xk，……}；

……

構(gòu)造數(shù)列{yn}和{zn}，其中yn是An的下確界，zn是An的上確界，這兩個數(shù)列如果有極限，其極限則分別為{xn}的下/上極限。

這個構(gòu)造也是《微積分學(xué)教程》中用來證明一個性質(zhì)一個工具。我們下次開始聊上/下極限相關(guān)的定理與性質(zhì)。

今天就到這里！