今天再推導(dǎo)穩(wěn)定性證明過程，思考與收獲如下。

本篇文章最核心的是下圖。

掌握好，本章無需再看，后面有點(diǎn)瞎扯淡，就放著吧哈哈哈，可能最近熬夜熬傻了，上圖記住，切記切記！☆☆☆☆☆

1、什么是穩(wěn)定。

官方定義，在擾動(dòng)作用下，系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)；若擾動(dòng)消除之后，系統(tǒng)能以足夠的準(zhǔn)確度回復(fù)導(dǎo)員倆的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2、如何理解呢，結(jié)合下圖分析，見仿真程序Nonlinear_Basic_Backstepping_Stabilization_Design_WLH

模型是個(gè)非線性

狀態(tài)方程dotx=x^2-x^3。其實(shí)隱藏的一個(gè)輸出方程y=x.(一會(huì)后面用到)

一個(gè)模型拿到手，我們可以先求一下平衡點(diǎn)，概念見第一期文章?！?strong>非線性系統(tǒng)控制知識整理”

（當(dāng)然補(bǔ)充一點(diǎn)的是線性系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡點(diǎn)，非線性系統(tǒng)可以有多個(gè)。我感覺平衡點(diǎn)總會(huì)存在，隨便給一個(gè)x的線性表達(dá)式，就可當(dāng)成dotx，既然是線性表達(dá)式就是kx+b的形式，一定油平衡點(diǎn)。即便是多個(gè)x也成立，比如dotx=x1+x2+4*x3，可以寫成dotx=Ax=0，A滿秩，齊次線性方程組等于零一定有解即平衡點(diǎn)。當(dāng)然，非線性系統(tǒng)也肯定有平衡點(diǎn)了，而且可以有多個(gè)。如果一個(gè)系統(tǒng)是有平衡點(diǎn)的，那么該系統(tǒng)任意一個(gè)初始狀態(tài)都會(huì)自由的向著某一個(gè)平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，最后收斂至某一平衡點(diǎn)。注意“自由的”意思是沒有外界輸入。）

dotx=0，求得x=0或1。所此系統(tǒng)與兩個(gè)平衡點(diǎn)，0，1。

在仿真程序里，我們把u=-x^2+x^3-kx去掉，然后給積分器的x賦初值，系統(tǒng)會(huì)自己收斂到平衡點(diǎn)！且仿真時(shí)間同樣長。

x（0）????????????收斂位置x（t→）

10????????????????????1

10000????????????????1

-10????????????????????0

0.1/1000001?????1

-0.0000001????????0

說明這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（自由響應(yīng)趨近于平衡點(diǎn)）當(dāng)然其實(shí)系統(tǒng)的初始狀態(tài)也可以看成是干擾或者擾動(dòng)，比如x的初始狀態(tài)是10，那么可以說明系統(tǒng)這個(gè)時(shí)候某物體的高度是10，可能有個(gè)東西在給它一直提供一個(gè)持續(xù)的托舉力F，是它一直保持高度10，當(dāng)送手之后，自由響應(yīng)，他會(huì)趨近于高度為1的平衡點(diǎn)。（注意與實(shí)際聯(lián)想聯(lián)系）

當(dāng)然，給這個(gè)仿真程序加上u，這時(shí)候系統(tǒng)的平衡點(diǎn)變了！從0,1變成了只有1，為什么？因?yàn)榇藭r(shí)dotx=-kx，只有0。其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)控制的作用就出現(xiàn)了，它把非線性系統(tǒng)變成了一個(gè)線性系統(tǒng)，改變了這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。當(dāng)然這個(gè)u是我們設(shè)置的，設(shè)置不好還會(huì)使?fàn)顟B(tài)方程發(fā)生其他變化，甚至?xí)黾酉到y(tǒng)平衡點(diǎn)。比如，u=-x^2+x^3-kx+x^5，此時(shí)dotx=kx-x^5。此時(shí)仿真結(jié)果告訴我們系統(tǒng)不穩(wěn)定。即，我們設(shè)置的控制器有問題，把一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)給它一個(gè)我們設(shè)計(jì)的指令，系統(tǒng)就壞了?，F(xiàn)實(shí)中可以用這幾個(gè)例子去體會(huì)，給一個(gè)220v標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)輸入了一個(gè)10000V的電壓，系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)直接破壞。因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)部每一個(gè)環(huán)節(jié)都對應(yīng)相應(yīng)的機(jī)構(gòu)或機(jī)械或芯片或元器件。而且注意，系統(tǒng)穩(wěn)定與外界輸入無關(guān)，是系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定的。不給輸入，自己收斂到平衡點(diǎn)足以說明。為什么有時(shí)候給了輸入，系統(tǒng)還會(huì)發(fā)散？是因?yàn)檩斎肫茐牧讼到y(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而導(dǎo)致的不穩(wěn)定。若一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，只要輸入適宜，一定穩(wěn)定。

從上述例子繼續(xù)總結(jié)，既然不加控制器，系統(tǒng)也可以收斂到平衡點(diǎn)，那為什么需要加控制器呢？原因有以下幾點(diǎn)：1，讓系統(tǒng)更（穩(wěn)準(zhǔn)快）的收斂到平衡點(diǎn)；2，用控制器改善系統(tǒng)性能，將我們不需要的平衡點(diǎn)去除，只保留一個(gè)我們需要的平衡點(diǎn)。也就是通過控制器去調(diào)整輸出調(diào)整到我們需要的信號。3，待完善

3、進(jìn)一步認(rèn)識微分方程、r、c與系統(tǒng)（動(dòng)態(tài)）方程（狀態(tài)方程x、輸出y方程、控制輸入u）與實(shí)際系統(tǒng)的聯(lián)系?。?！☆☆☆☆☆

上面是《自動(dòng)控制原理》盧京潮版本中的一個(gè)例子。下面我將從微分方程（經(jīng)典控制）、系統(tǒng)實(shí)際、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程三者去分析這個(gè)例子。

1）系統(tǒng)實(shí)際角度

這是個(gè)函數(shù)記錄儀，輸入是給定電壓u，輸出是記錄筆的位移L。

比如出來一個(gè)正弦函數(shù)的圖像，這個(gè)正弦函數(shù)的圖像特征轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的電壓u信號，使得，通過把這對應(yīng)的電壓u信號輸入給記錄儀，記錄儀可以給我輸出一個(gè)與這個(gè)正弦函數(shù)圖像相差不差的。

2）微分方程（經(jīng)典控制）角度

根據(jù)微分方程，進(jìn)行拉普拉斯變換，寫出

C/R=L/u=(s的函數(shù))/(s的函數(shù))，通過分析特征方程從而看系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。

3）系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程角度

狀態(tài)方程

dx1=x2;

dx2=-K1*x2-K2*x1+K3*u;

輸出方程：y=x1;

寫到這里會(huì)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程里的控制輸入u就是微分方程里的輸入信號R，也就是電壓信號u。

重點(diǎn)如下！！見仿真程序C:\Users\Atwood\Desktop\代碼合集\非線性控制代碼/Compared_classical_modern_control_WLH.slx

設(shè)定積分初始值為0

無輸入，即R=0，即u=0，系統(tǒng)無任何響應(yīng)輸出，即L=0不工作，即C=0，即y=x1=0。

輸入是階躍信號時(shí)，即R=1，即u=1，系統(tǒng)輸出有輸出在階躍的影響下保持在一個(gè)新的平衡點(diǎn)，即L有值開始工作，即C有值，即y=x1有值。

設(shè)定積分初始值不為0

此時(shí)無輸入，就是系統(tǒng)的自由響應(yīng)，說明系統(tǒng)這是在工作，但是沒有輸入，工作一會(huì)就會(huì)趨近于平衡點(diǎn)。若此時(shí)給一個(gè)階躍信號輸入，系統(tǒng)的工作狀態(tài)被階躍信號打斷并持續(xù)受其影響保持在一個(gè)新的平衡點(diǎn)。

經(jīng)典控制理論中控制器其實(shí)是起到了一個(gè)大腦計(jì)算+控制的功能

就以這個(gè)記錄儀為例，用經(jīng)典的控制理論去分析，這個(gè)記錄儀功能已經(jīng)在了，大家都能理解的是，我現(xiàn)在給他給他個(gè)信號，我不需要得到它輸出的反饋對吧，因?yàn)槲抑灰凑沼涗泝x的輸入要求給它相應(yīng)的電壓信號就好了，然后我給它一個(gè)輸入，他就工作了，然后輸出。結(jié)果我發(fā)現(xiàn)，我去，位置歪了。。。那我就重來第二遍，我親自調(diào)整一下它的紙的位置，然后把剛剛的同樣的喜好加給它，它又自動(dòng)工作了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)輸出了一張白紙，原來是沒墨了。。。

我現(xiàn)在要做的就是給它設(shè)計(jì)一個(gè)控制器！這個(gè)控制就是控制輸入，包含我剛剛給他的這個(gè)信號r1,更重要的還有這個(gè)記錄儀輸出端的信息，包括紙張位置函數(shù)、有無墨水函數(shù)等與輸出有關(guān)系的，把這些東西加進(jìn)去，我給他一個(gè)要記錄的電壓信號，它就不會(huì)出現(xiàn)剛剛那種情況了。這也是控制輸入，需要從輸出端反饋。