接續(xù)上文的內容……

Part 2 鏈的第二定義

現(xiàn)在我們來學習一種新的鏈的定義。

在之前的內容里，我們已經(jīng)了解到了，鏈由兩種關系構成：強關系和弱關系。它們各自的定義如下。

• 強關系：如果節(jié)點1為假時得到節(jié)點2為真，則稱節(jié)點1和節(jié)點2有強關系。

• 弱關系：如果節(jié)點1為真時得到節(jié)點2為假，則稱節(jié)點1和節(jié)點2有弱關系。

不過你可能會想過這樣一個問題。為什么節(jié)點1到節(jié)點2的順次邏輯，在結論里就被敘述為“節(jié)點1和節(jié)點2之間有強弱關系”了呢？難道不是“節(jié)點1到節(jié)點2有強弱關系”嗎？

這個問題問得好，我們來看看如何去回答。首先，我們得了解鏈的新的定義方式。雖說是新的定義方式，但實際上和之前的定義是完全等價的兩種不同說法而已。

我們在高中學習過命題和邏輯一章，并了解了原命題、逆命題、否命題和逆否命題，其中逆命題和否命題真值相同（即要么都對，要么都不對）；同理，原命題和逆否命題的真值相同。如圖所示。

那么，我們回顧一下強弱關系的定義，拿強關系舉例，因為是證明，所以我們把命題的結論從“則稱節(jié)點1和節(jié)點2有強關系”也替換為“則稱為節(jié)點1到節(jié)點2有強關系”（改成有方向的）。此時我們取出其中的條件部分。

如果節(jié)點1為假，則節(jié)點2為真。

我們如果把它看作原命題，那么它的逆否命題則是把條件和結論都取反后再交換。那么命題就變?yōu)榱?/p>

如果節(jié)點2為假，則節(jié)點1為真。

這兩種說法明顯是互為逆否命題的，所以真值相同，所以這種說法顯然也可以替換到原來的強關系的定義里的，即變?yōu)?/p>

如果節(jié)點2為假得到節(jié)點1為真，則稱節(jié)點1到節(jié)點2有強關系。

顯然，這個說法已經(jīng)把節(jié)點1和節(jié)點2互換了方向，但依然可以得到強關系。而這個逆否命題的說法顯然對應的應該是

如果節(jié)點2為假得到節(jié)點1為真，則稱節(jié)點2到節(jié)點1有強關系。

所以可以看到，一個條件可以得到兩個方向的結論。所以強關系是不受方向的約束的，即正著推和倒著推都是可以得到結論的；同理，弱關系的證明完全是一樣的。

所以，強關系和弱關系并不受到方向的約束。而鏈是完全依賴于強關系和弱關系的，而強關系和弱關系都可以反向推理和理解，所以鏈是完全可以反向理解的，故鏈是可以反向來推理和理解的（或者換句話說，鏈的兩個方向推理結果都能得到一致的結論；或者干脆可以直接說鏈不具有方向性）。

那么，除了能夠得到這一點外，我們還能得到什么東西呢？強弱關系的新的定義。

由于強弱關系都可以逆向理解，那么我們同時給出兩種寫法，看看有什么新的結論：

• 從節(jié)點1假到節(jié)點2真。

• 從節(jié)點2假到節(jié)點1真。

這分明說的就是兩個節(jié)點不同假。因為不管兩個節(jié)點哪個為假，都能推導得到另外一個節(jié)點是必須為真的，所以，強關系還可以被敘述為“兩個節(jié)點不可以同為假”。

同理，我們寫出弱關系的兩種說法：

• 從節(jié)點1真到節(jié)點2假。

• 從節(jié)點2真到節(jié)點1假。

可以看到，不論哪個節(jié)點為真，都必須得到另外一個節(jié)點是為假的。所以，弱關系也可以被改變敘述為“兩個節(jié)點不可以同為真”。所以，我們就得到了強弱關系的新定義方式：

• 強關系（新定義）：如果兩個節(jié)點不同假，則稱兩個節(jié)點有強關系；

• 弱關系（新定義）：如果兩個節(jié)點不同真，則稱兩個節(jié)點有弱關系。

這個說法有什么用途呢？可以看到，這種說法就可以去驗證各式各樣的強弱關系了，它并不受到之前共軛對等同在一個區(qū)域下的候選數(shù)的約束。我們可以利用這一點來得到一些更為奇妙的結果和結論；如果使用之前的邏輯，就不一定能得到，因為從之前的定義來看，對于ALS就顯得很“無力”，因為ALS里的關系的發(fā)散的，你可以隨便從之前的某個節(jié)點往下連接到ALS里的任意成立的情況，而這些情況不止一種，即并不是一種確切的情況。所以，這種新的定義模式會更加靈活、高效地把鏈使用起來。

不過，需要你注意的是，在新的定義里，我們完全可以察覺到一個奇妙的地方。比如強關系，我們仔細看它的定義就可以發(fā)現(xiàn)，“節(jié)點不同假”包含了一種情況，即“兩個節(jié)點同真”，因為兩個節(jié)點一共只包含四種填數(shù)可能：甲真乙真、甲真乙假、甲假乙真、甲假乙假。而不同假指的是兩個節(jié)點里不能同時都是假，所以只排除了最后的一種情況，而剩下的三種情況里，是包含“同真”的結果的；同理，因為強弱關系的定義是對稱的，所以弱關系還包含“同假”的結果的，所以請你務必重視，不要漏了這個特殊的情況，在某些特殊的時候，這個特殊的條件會對我們做題具有相當大的幫助，例如后面會介紹到的毛刺（Burr Rule）和毛邊（Bi-burr Rule）。

Part 3?ALS的互補視角

接下來，我們來試著理解一下ALS的互補視角。

如圖所示，我們先把鏈的文本形式寫出來：

可以從例子里發(fā)現(xiàn)，圖中存在兩個ALS區(qū)域，它實際上就是一個ALS-XZ，不過從例子里看到，它并未畫出之前那樣合適的ALS區(qū)域；相反地，它卻畫出了原來ALS區(qū)域所涉及不到的單元格。這是怎么一回事？

我們這么思考這個問題。首先我們來分析c2的異數(shù)強關系r1c2(3)=r7c2(9)。我們利用新的強關系定義，如果它們同假，則c2放下3和9的位置只有r8c2一處，但r8c2顯然不能同時放下3和8，所以出現(xiàn)矛盾，所以兩個節(jié)點不同假，即形成了強關系。這一點是比較好理解的。

同理，我們再來看c9的異數(shù)強關系r7c9(9)=r2c9(3)。如果兩個節(jié)點同為假，則會發(fā)現(xiàn)3、8、9在c9只能放在r58c9兩處。顯然，r58c9只有兩個單元格，而3、8、9是三種數(shù)字，顯然是放不到兩個單元格里的，所以這樣必然會產(chǎn)生矛盾。因此，強關系也是成立的。

這便是ALS的互補觀察視角，即通過互補的角度作為占位來處理和推導矛盾：選取和原ALS涉及單元格互補的單元格，再把ALS沒有涉及的數(shù)字全部圈出來，即構成互補結構。

Part 4?鏈式ALS結構拓展

接下來我們來看一下，套用鏈的ALS結構都有哪些拓展構型。

4-1?帶雙RCC的ALS-雙強鏈法則

如果我們之前學到的ALS-XZ并不夠新奇的話，我們現(xiàn)在就來接觸一種新的ALS-XZ，而這種結構更為特殊。

在此之前，我們先來介紹一個術語：嚴格共享候選數(shù)（Restricted Common Candidate，簡稱RCC），這個詞在一些軟件和分析ALS技巧里經(jīng)常使用。

我們先來說說RCC是什么。RCC實際上指的是之前ALS-XZ里的那個X，即弱關系連接的候選數(shù)。也就是說，一般來說ALS-XZ只有一個RCC（因為ALS-雙強鏈法則規(guī)定了鏈只有一個弱關系，故只可能有一個RCC），例如第一個示例里的1和第二個示例里的8，就是RCC。

那么，ALS-雙強鏈法則是否可能產(chǎn)生兩個RCC呢？答案是可以，不過因為從結構上根本不可能實現(xiàn)兩個弱關系，那么怎么形成呢？我們來看下面這則示例。

如圖所示，我們把r2c239看作一組ALS（三個單元格，有2、4、7、9四種候選數(shù)），r4c23看作一組ALS（兩個單元格，有1、2、4三種候選數(shù)）。這個鏈的寫法如下：

或

這個結構可以寫成兩個不同的鏈結構。也就是說，這個結構自帶了2和4兩個RCC。根據(jù)原定的ALS-XZ邏輯，那么可以刪除掉的是c2內其余單元格的候選數(shù)2，以及c3內其余單元格的候選數(shù)4。那這題為啥標注了那么多紅色的刪數(shù)？

回想一下RCC的特征：RCC呈弱關系，意味著兩數(shù)不可同真。不可同真本應該指的是“同假”或“有且僅有一個為真”，但是當我們刪除掉c2內其余單元格的候選數(shù)2和c3的其余單元格的候選數(shù)4之后，RCC就不可能再同假了。因為刪掉這些數(shù)之后，c2其余位置就不再存在填入2的地方，c3的其余位置也就不存在填入4的地方，此時RCC變?yōu)楣曹棇?。共軛對即一真一假，比如圖中r24c2(2)這個共軛對，只能是一真一假，r24c3(4)也是一樣的情況。首先，我們根據(jù)上面描述出來的兩條鏈，可以看到兩個強關系：

• r2c2(2)=r2c3(4)

• r4c2(2)=r4c3(4)

這意味著r2c2(2)和r2c3(4)不可同假，同時r4c2(2)和r4c3(4)也不可同假，而且r24c2(2)和r24c3(4)又都只能是一真一假。這樣的話，r24c2(2)和r24c3(4)這四個候選數(shù)的填數(shù)情況只可能是以下兩種可能了：

• r2c2(2)和r4c3(4)同時為真；

• r2c3(4)和r4c2(2)同時為真。

別無其它可能。這樣一來，觀察r2c239這組ALS，里面的r2c2和r2c3其中有且僅有一格被RCC數(shù)字占據(jù)。那么，ALS內其余兩格，則會構成79數(shù)對。同理，r4c23這組ALS，里面的r4c2和r4c3其中有且僅有一格被RCC數(shù)字占據(jù)，剩下一格就一定是數(shù)字1。也就是說，結構r2c239（靠上方）這組ALS一定會產(chǎn)生79數(shù)對，r4c23（靠下方）這組ALS一定會產(chǎn)生數(shù)字1，所以r2的其余位置都不應該填入數(shù)字7和9，r4和b4內的其余位置也都不應該填入數(shù)字1，因此刪掉它們。

這個結構分析起來非常復雜，因為帶有了兩個RCC，并且組成了特別的結構。

它的名字是什么呢？帶有雙RCC的ALS-XZ（Doubly Linked ALS-XZ）；而對比這種說法，最開始的結構因為只有一個RCC，所以可以被稱為帶有單RCC的ALS-XZ（Singly Linked ALS-XZ）。

4-2?ALS-XY-Wing

4-2-1 普通的ALS-XY-Wing示例

在之前的Wing結構一節(jié)里，我們介紹了一些Wing的鏈式寫法，其中提到了XY-Wing，那么我們來看看ALS可否和XY-Wing交織形成新的東西。

如圖所示，鏈的寫法如下：

在例子里，為了簡化涂色邏輯和思維，而且我們也講到了互補的視角，所以圖上全部都是ALS的互補視角的繪制邏輯。

如果{r1c789, r3c9}(2)和r1c78(9)同假的話，則可以發(fā)現(xiàn)b3里能放下2、4、9的位置只有兩個單元格，出現(xiàn)矛盾；同理，如果r1c12(9)和r3c3(7)同假的話，則b1里放7和9的位置只有一個單元格可填，出現(xiàn)矛盾；如果r6c3(7)和r6c7(2)同假，則r6里只有一個單元格能放2和7，也是放不下的，出現(xiàn)矛盾。

所以，所有強關系都成立。不過，為什么它跟XY-Wing沾邊呢？從這個鏈涉及的候選數(shù)的順序來看，是2=9-9=7-7=2，和XY-Wing的鏈的寫法完全是一樣的，所以這個結構就叫做ALS-XY-Wing。

4-2-2?ALS區(qū)域有重疊的ALS-XY-Wing

我們再來看一則示例。

如圖所示，這個鏈看起來比較混亂，因為有一部分ALS和ALS是重疊的。我們先寫出文本表達：

這個示例一共是涉及了三個ALS區(qū)域，而其中最容易理解和明白的ALS區(qū)域是{r5c6, r6c56}(1245)和r2c356(1568)。實際上，b2里有一個ALS區(qū)域是{r1c45, r2c56, r3c456}(12345689)。這個區(qū)域稍微大了點，涉及了七個單元格，并包含了8種數(shù)字，但也確實滿足ALS的要求，所以也是合格的ALS。

別看數(shù)很多，邏輯還是很清晰的。如果r2c36(8)為假，則r3c6(1)必須為真，否則紫色的ALS區(qū)域里將少掉兩種數(shù)字1和8，使得四個單元格僅填兩種數(shù)字，顯然是不夠填的，所以產(chǎn)生矛盾；而第二個ALS區(qū)域就不用過多分析了；第三個ALS因為涉及了7個單元格，所以顯得很復雜。從之前的邏輯，我們推理到了r2c5(5)為假，則r3c46(8)此時必須為真，否則的話，在這個區(qū)域里其余位置也沒有其它的5和8，所以會少兩種數(shù)字，7個單元格就只能填入6種數(shù)字，導致填數(shù)不夠的矛盾。所以強關系是成立的。

此時，這個例子特殊的地方僅僅是，ALS區(qū)域有重疊，導致了理解起來的不便；不過針對于這種例子，我們可以嘗試使用互補視角來觀察：如果5和8都去掉后，b2里只有r2c4能放下5和8，而顯然是不能同時放下兩個數(shù)的，所以矛盾。

4-3?ALS-雙值格鏈

接下來我們再看一則更長的ALS鏈式結構。

如圖所示。

這個鏈內一共有四個ALS區(qū)域，它們分別是r1347c8、r9c34568、{r7c1, r9c2}和r2c126。分析方式和之前的ALS-XY-Wing等結構相同，這里就不再重復。強關系依然采用“不可同時為假”進行分析。不過，如果你覺得這種結構過大的話，可以試試互補視角，不過互補視角后，部分位置就會產(chǎn)生重疊。如圖所示。

5-4?ALS-W-Wing

接下來再來看一則示例。

如圖所示，鏈如下所示：

這個鏈內一共有兩個ALS，并且位于首尾。所以利用剛才的結論，我們可以知道，r7c23(8)和r7c23(1)是強關系。同時為假的時候，r7c23內只有3這一種候選數(shù)可填，這顯然不成立。結尾的強關系也是一樣。

這個結構的寫法非常類似于W-Wing的結構：(w=x)-x=x-(x=w)，所以被稱為ALS版本的W-Wing，即ALS-W-Wing。

4-5 死亡綻放

接下來我們來說一個和Wing里分類討論模式非常相似的ALS技巧：死亡綻放（Death Blossom）。

4-5-1?三個花瓣

如圖所示，圖中一共使用了兩個ALS區(qū)域：r23c45(23567)和r239c5(2467)。

我們按r7c4作為拐點進行分情況討論。

• 假設r7c4 = 3，則由于r3c4 <> 3的關系，如果此時橙色ALS里如果沒有2，則會少兩種數(shù)字，便出現(xiàn)錯誤，所以{r2c45, r3c5}(2)為真；

• 假設r7c4 = 4，則r9c5 <> 4，如果此時r239c5(2)全部消失，則紅色ALS里同時少了兩種數(shù)字，導致不夠填的矛盾；

• 如果r7c4 = 5，和第一個情況類似，得到橙色ALS里無法填數(shù)。

所以，由于三種情況都可以得到2為真的結果，而r7c4只有三種情況，所以{r2c4, r239c5}(2)里必須至少有一個數(shù)字2為真，所以刪除掉這4個2的交集。

在死亡綻放里，我們把類似于Wing類分支情況的技巧里的拐點或折點稱為花瓣單元格（Petal Cell），這個單元格有幾個候選數(shù)就稱有幾個花瓣。比如該示例里有三個候選數(shù)，即三個花瓣。

4-5-2?四花瓣

如圖所示，我們按r9c1進行分情況討論。

• 假設r9c1 = 2時，r8c23 <> 2，如果r8c6 <> 5則在橙色ALS里少了兩種候選數(shù)，導致填數(shù)不夠，所以r8c6 = 5；

• 假設r9c1 = 4，則紅色ALS，可以得到r8c6 = 5；

• 假設r9c1 = 6，則綠色ALS里必須讓r6c7 = 5，否則綠色ALS里少兩種數(shù)字，不夠填數(shù)，出現(xiàn)矛盾；

• 假設r9c1 = 7，則橙色區(qū)域和情況1一樣，r8c6 = 5。

所以，不管是什么情況，最終必須r6c7或r8c6里至少有一個單元格是5，所以刪除其交集，即r8c7(5)。

這個示例帶有四個花瓣。一般來說，三個花瓣的示例找起來就比較困難了，所以一般四個花瓣的很少發(fā)現(xiàn)，甚至發(fā)現(xiàn)不了，所以僅供參考和學習。

4-5-3?五花瓣

如圖所示，這個示例帶有5個ALS區(qū)域（分別用紅色、橙色、綠色、藍色和紫色五種顏色來表示，注意r3c6被三個ALS區(qū)域共用），也恰好有5個花瓣。不過這個例子依然和之前的推理方式一致，所以我們此處不再重新推理，不過題目很漂亮，可以拿來學習和參考。

4-5-4 六花瓣

請自行推理。

4-6?帶ALS的鏈

4-6-1?普通的例子

如圖所示，這個鏈的寫法如下：

如圖所示，這個例子就不用過多解釋了，它的原理和之前的ALS完全一樣，只是注意一下c9的ALS，此處畫出的是它的互補視角：如果同假后，2、6、7將只能放在兩個單元格里，顯然不夠填，導致矛盾。

4-6-2?假SDC的強關系

之前我們說過SDC技巧，但是我們從來沒有想過，把SDC插入到鏈里使用。我們來看看SDC如何放到鏈里去靈活使用。

先來看第一個示例。

這是一條長為1的鏈，沒錯，它只有一個強關系構成，雖然這一點有點別扭，但實際上在鏈的定義和敘述里，我們明確說到“以強關系開頭結尾，并且奇數(shù)長度”。這個例子確實強關系開頭也是強關系結尾（只是它們都是同一個強關系），而1確實也是一個奇數(shù)。

這條鏈的邏輯很簡單，r1c7(1)和r8c8(1)不同假。那為什么不同假？如果把它倆去掉，則一個看起來像SDC的結構{r13c7, r238c8}五個單元格僅包含2、3、6、7，而且全部的數(shù)字都不跨區(qū)出現(xiàn)（2、3只出現(xiàn)在b3里，6、7只出現(xiàn)在c8上）。這顯然是一個SDC結構了。不過試想一下，如果所有數(shù)字都不跨區(qū)，而且還沒有一樣的數(shù)字，就意味著這些數(shù)必須有且僅有一個，不多也不少。可是，這一共是五個單元格，卻只有2、3、6、7四種數(shù)，使用SDC的跨區(qū)數(shù)組的邏輯是完全填不滿的。是的，這就意味著SDC就直接自動出錯了。故假設錯誤，即r1c7(1)和r8c8(1)必須至少有一個為真。

可以看到，這里的SDC實際上是一個假的SDC，根本就經(jīng)不起推敲。五個單元格只有四種填數(shù)是顯然直接出錯的，而這種結構只是長相很類似SDC，所以這里把這個結構稱為假SDC（Fake SDC）。

這種假SDC在鏈里很喜歡出現(xiàn)，而且這種結構在使用的時候會非常靈活。而且，這種結構跨區(qū)域產(chǎn)生了強關系，非常厲害。

接下來我們再來看一則示例。

如圖所示，表示如下。

最難理解的地方就是這里的SDC兩端的5的節(jié)點。我們假設r1c6(5)和r1c2379(5)同假，則在{r1c2379, r3c3}里只剩下2、3、4、8，而且2、3只出現(xiàn)在r1上，4、8只能出現(xiàn)在b1里。并且涉及五個單元格，但五個單元格無法填入2、3、4、8四種數(shù)字，所以出現(xiàn)矛盾。故這兩個關于5的節(jié)點不同假。

4-6-3?節(jié)點重疊

這個示例有些奇葩，鏈如下所示：

這個鏈頭r3c13(7)和鏈尾r23c1(7)都是7的區(qū)塊。不過有些特殊的是，r3c1(7)被兩個區(qū)塊組共用。不過，刪數(shù)也是存在的。因為r3c13(7)和r23c1(7)至少一個為真，意味著這三個單元格的候選數(shù)7，至少都有一個位置是為真的（r3c1(7)為真，就是這個特殊情況）。刪掉交集，也就是b1的其余位置的7啦。

之前說到過，節(jié)點不一定只是候選數(shù)，也可以是區(qū)塊，所以這里的鏈頭和鏈尾就是兩個區(qū)塊了，它們有部分重疊，所以稱為節(jié)點重疊。

當然了，節(jié)點重疊并不一定是區(qū)塊和區(qū)塊之間，也可能是ALS內部產(chǎn)生的部分之間的重疊。比如這個例子：

其中，r48c8(7)=r8c8(8)是產(chǎn)生于r48c8內的ALS，而r6c9(8)=r4c8(7)則是產(chǎn)生于{r4c8, r6c9}的ALS。

這個結構就比起剛才的難觀察一些了。