時(shí)間緊張，今天復(fù)習(xí)一下一階微分線性方程解法+可以轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程的一階非線性微分方程——伯努利方程。

同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

常微分方程中主要涉及的一種方程類型——線性方程。

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

依然按照從簡單到復(fù)雜的順序，最簡單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導(dǎo)數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一階線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個(gè)完全不同概念；

2. 非齊次方程的解可由齊次方程的解獲得，所以先解決齊次方程的解即可。

一階齊次線性方程的通解——

1. dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——變量分離的方程，兩邊取積分；

2. ln |y|=-∫?P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫?P（x）dx）——其中C的取值取決于C1，C=e^C1或C=-e^C1。

   注意——綠字部分的解是要背下來的。

一階非齊次線性方程的通解——常數(shù)變易法：利用齊次方程的通解y=Ce^（-∫?P（x）dx）——（重點(diǎn)！??！）——

1. 方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒為0；

2. 將齊次方程通解中C換成未知函數(shù)u（x），即y=ue^（-∫?P（x）dx）；

3. 由2得dy/dx=u'e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）；

4. 將2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫?P（x）dx）=Q（x）；——注意到綠色部分可以消去；

5. 由4解出u（x）——

   u‘e^（-∫?P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫?P（x）dx），

   u=∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C；

6. 將5代入2中，y=e^（-∫?P（x）dx）（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C）；

7. 將6中式子改寫得到，y=Ce^（-∫?P（x）dx）+[e^（-∫?P（x）dx）]（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx）；

   注意：

   1.第一項(xiàng)（紅色部分），為齊次線性方程的通解；

   2.第二項(xiàng)（綠色部分），為非齊次線性方程的一個(gè)特解（C=0時(shí)）。

注意：這個(gè)解是要背下來的，不然做題就麻煩太多了，而且，記住這個(gè)形式，對解決一些問題的切入點(diǎn)也很重要。

可以轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程的一階非線性微分方程——伯努利方程。

伯努利方程——形如dy/dx+P（x）y=Q（x）y^n的微分方程——其中n不為0、1。

解法——

1. 做一個(gè)簡單的變換我們就可以把它轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程——兩邊同時(shí)除以y^n，將方程變形為——[y^（-n）]dy/dx+P（x）[y^（1-n）]=Q（x）；

2. 令z=y^（1-n），dz/dx=[（1-n）y^（-n）]（dy/dx），[y^（-n）]dy/dx=[1/（1-n）]dz/dx；

3. 將2中各式代入1，得到——[1/（1-n）]dz/dx+P（x）z=Q（x）；

4. 將3中式子乘以（1-n），得到——dz/dx+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）；

5. 第4步所得式子即為關(guān)于x的函數(shù)z的一階線性微分微分方程，我們按照解一階線性微分方程的方法接出z，y=z^[1/（1-n）]。

這就是伯努利方程的解法。