今天聊一個(gè)雖然簡(jiǎn)單直觀，但是很重要的定理。

我們?cè)贓p19中聊到了“實(shí)數(shù)完備性”的定義——“實(shí)數(shù)完備性”被定義為——實(shí)數(shù)定義的“實(shí)數(shù)分劃”只有一種類(lèi)型，即上組或者下組存在最值；與“有理數(shù)分劃”這個(gè)“花心小蘿卜”形成了鮮明對(duì)比，“實(shí)數(shù)分劃”很專(zhuān)一，不會(huì)一邊跟實(shí)數(shù)在一起，一邊惦記著其他數(shù)——

因?yàn)樽罱凶x者問(wèn)的問(wèn)題是混淆了“有理數(shù)分劃”和“實(shí)數(shù)分劃”兩個(gè)概念造成的，所以這里再重申一遍這兩者的區(qū)別——

“有理數(shù)分劃”是指以實(shí)數(shù)為界數(shù)將有理數(shù)分為上下兩組，分兩種類(lèi)型：如果界數(shù)是有理數(shù)，則這個(gè)界數(shù)必然落在某一組中，如果這個(gè)界數(shù)是無(wú)理數(shù)，則這個(gè)界數(shù)不屬于其中任意一組；

“實(shí)數(shù)分劃”是以實(shí)數(shù)為界數(shù)將實(shí)數(shù)分為上下兩組，只有一種類(lèi)型：界數(shù)必然落在上組或者下組。

而在本書(shū)中，具有工具意義的定義只有“有理數(shù)分劃”一個(gè)，所以但凡這本書(shū)遇到證明，所說(shuō)的分劃必然是“有理數(shù)分劃”，如果你把它當(dāng)做“實(shí)數(shù)分劃”，那么就會(huì)覺(jué)得是不是證明錯(cuò)了？其實(shí)不是，僅僅是你把兩個(gè)概念混淆成了一個(gè)概念。

我們?cè)贓p20提到：

“完備性”是“實(shí)數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個(gè)性質(zhì)。

——所以，由此可以導(dǎo)出許多“實(shí)數(shù)”獨(dú)有的定理。

以及——

“‘實(shí)數(shù)完備性/連續(xù)性’也是在大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程中遇到的第一個(gè)重要的概念，以此為起點(diǎn)，導(dǎo)出的“實(shí)數(shù)連續(xù)性的六個(gè)定理”的相互推導(dǎo)，曾幾何時(shí)是“北大數(shù)學(xué)系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學(xué)分析》的必出題，……，當(dāng)然這道題往往是其中的送分題，……，簡(jiǎn)言之，就是，“實(shí)數(shù)的完備性”部分是數(shù)學(xué)系第一個(gè)要下功夫的學(xué)習(xí)重點(diǎn)?！?/span>

——實(shí)際上，實(shí)數(shù)基本原理有七個(gè)，但是聚點(diǎn)原理一般教材一元微積分部分不會(huì)深聊，所以我們掌握前六個(gè)翻來(lái)覆去的推導(dǎo)即可。

我們?cè)贓p21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個(gè)定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

今天就來(lái)聊第二個(gè)定理——“單調(diào)有界原理”：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂。

34單調(diào)數(shù)列的極限????????

首先當(dāng)然照例介紹單調(diào)數(shù)列的概念了！——

我們中學(xué)學(xué)過(guò)函數(shù)單調(diào)性，就是——對(duì)于函數(shù)f（x），對(duì)于任意x1<x2，如果有f（x1）<f（x2）則為單增函數(shù)，如果有f（x1）>f（x2）則為單減函數(shù)。

我們說(shuō)過(guò)數(shù)列可以看做一個(gè)特殊的自變量為自然數(shù)的函數(shù)，那么數(shù)列單調(diào)性就可以類(lèi)似表述為——對(duì)于數(shù)列{an}，對(duì)于任意n'<n"，如果有an'<an"則為單增數(shù)列，如果有an'>an"則為單減數(shù)列。

顯然單調(diào)數(shù)列是一種具有特殊性質(zhì)的數(shù)列——

這個(gè)定理的前半部分便是有名的“單調(diào)有界原理”——單調(diào)有界數(shù)列必有有限極限；

這個(gè)定理的后半部分可以簡(jiǎn)述為：?jiǎn)握{(diào)無(wú)界數(shù)列必為無(wú)窮大。

我們來(lái)分步證明——

1.前半部分——

證明用到了我們之前學(xué)過(guò)的“確界原理”，該證明作為重要基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)滾瓜爛熟，以單增有上界為例——

1. 我們已知單增有上界數(shù)列{an}，這個(gè)數(shù)列中的所有項(xiàng)構(gòu)成了數(shù)集A，存在上確界a，使得其中任意元素an<=a；——上界的定義；

2. 對(duì)任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N，使得aN>a-e；——上確界的性質(zhì)；

3. 由1、2，an<a+e；——上確界的性質(zhì)；

4. 由1、2、3，和數(shù)列單調(diào)性，得到對(duì)任意n>N，有a-e<aN<an<=a<a+e；

5. 我們復(fù)述2、4部分內(nèi)容：對(duì)任意小數(shù)數(shù)e>0，存在自然數(shù)N，對(duì)任意n>N，有a-e<an<a+e，即|an-a|<e，即a為數(shù)列{an}的極限。

2.后半部分

證明直接對(duì)照無(wú)窮大的定義，仍然以單增無(wú)上界為例——

1. 無(wú)上界數(shù)列{bn}，必然滿(mǎn)足，對(duì)于任意大數(shù)E>0，都存在自然數(shù)N，bN>E；

2. 單增數(shù)列{bn}，必然滿(mǎn)足，對(duì)于任何n>N，bn>bN；

3. 結(jié)合1、2，對(duì)于單增無(wú)上界數(shù)列{bn}，必然滿(mǎn)足，對(duì)于任意大數(shù)E>0，都存在自然數(shù)N，對(duì)于任何n>N，bn>E，即數(shù)列{bn}為無(wú)窮大，得證。

關(guān)于“單調(diào)有界原理”有一道非常出名的例題，這也是北大2016年的一道考題——

這也是陳紀(jì)修《數(shù)學(xué)分析》上的一道例題，感興趣的同學(xué)不妨做做看，難得的北大出過(guò)的簡(jiǎn)單題。

用“單調(diào)有界原理”推導(dǎo)“確界原理”的內(nèi)容，我們明天再說(shuō)！