題目：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P為其內(nèi)部一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求BC的取值范圍.

這是一道非常經(jīng)典的幾何最值題目，本文將介紹兩種幾何法和一種代數(shù)法. 解法一：(利用矩形經(jīng)典結(jié)論) 如圖，將Rt△ABC補(bǔ)全為矩形ABCD，連接AD，PD.

矩形結(jié)論：AP2+DP2＝BP2+CP2，代入數(shù)據(jù)可得：DP＝2√3 △APD中，由三角形三邊關(guān)系得：DP-AP≤AD≤DP+AP，即：2√3－1≤AD≤2√3+1. 又∵BC＝AD， ∴BC的取值范圍是[2√3－1，2√3+1] 方法二：(利用三角形中線長(zhǎng)定理) 如圖，分別取BC、AP中點(diǎn)O，M，連接OM，AP，PO.

由三角形中線長(zhǎng)定理得：OP2＝1/4(2OA2+2PC2-AP2)＝13/2-1/4BC2 ∵BC＝2OA，∴OP2+OA2＝13/2，OM＝1/4(2OA2+2OP2-AP2)＝3，即OM＝√3. △AOM中，由三角形三邊關(guān)系得：OM-AM≤AO≤OM+AM，即：√3-1/2≤AO≤√3+1/2 ∴2√3-1≤BC≤2√3+1 故BC的取值范圍是：[2√3－1，2√3+1] 方法三：(向量+柯西不等式) 設(shè)→PA＝a，→PB＝b，→PC＝c，記＝α，＝β，則＝360°-(α+β)，→BA＝a-b，→CA＝a-c.，→CB＝b-c ∵∠BAC＝90° ∴→AB · →AC＝(b-a)·(c-a)＝0 即：a2-a·c-ab+b·c＝0 1-3cos(α+β)-2cosβ+6cosα＝0 整理得：cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα＝-6cosα-1 兩邊平方得：(-6cosα-1)2＝[cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα]2 由柯西不等式得：(-6cosα-1)2＝[cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα]2≤ (cos2β+sin2β)[(-3cosα-2)2+(3sinα)2] 解得：－√3/3 ≤ cosα ≤ √3/3. |b-c|＝√(b2+c2-2bccosα)＝√(13-12cosα) ∵－√3/3 ≤ cosα ≤ √3/3 ∴13-4√3 ≤ 13-12cosα ≤ 13+4√3 ∴2√3-1≤丨b-c丨≤ 2√3+1. 故BC的取值范圍是：[2√3－1，2√3+1] 大家還有其他的方法嗎，歡迎討論交流………