.......

“睡醒了嗎？”

“差不多了。主人，你下午還要帶我整量子力學(xué)嗎？”

“我的確想，看你愿不愿意了?！?/p>

“咱們來吧?！?/p>

“行。不過這一次我們玩的更多是數(shù)學(xué)游戲，可能會有點枯燥。你應(yīng)該知道大部分情況下量子力學(xué)的模型是無法精確求解的，但一些經(jīng)典的模型除外。現(xiàn)在接著上午的朗道能級，看一看被咱們搬過來的三維諧振子波函數(shù)是什么樣的。也就是說，我們現(xiàn)在要求解三維各向同性諧振子

HΦ=EΦ,

這里為方便起見使用球坐標(biāo)，即Φ=Φ(r,θ,φ),而

H=-(h/2π)2/2μ▽2+1/2·μω2r2,

把長的不行的球坐標(biāo)拉普拉斯算符代進去，

H=-(h/2π)2/2μr2(?/?r(r2?/?r)+1/sinθ·?/?θ(sinθ?/?θ)+1/sin2θ·?2/?φ2)+1/2·μω2r2.

接下來為方便起見，取自然單位h=2π,μ=ω=1.顯然Φ是可以分離變量的，我們記為

Φ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ).

現(xiàn)在給你個任務(wù)：按照剛才的分離變量和你之前看過的我的教材，先把R(r)分離出來?！?/p>

“這可是大工程......你給我五分鐘好嗎？”

“沒事，我等你?！?/p>

星塵奪走了我的簽字筆開始打草稿，浮在側(cè)面的梅塔特隆立方體也開始閃爍起來。

“搞定了.......把球函數(shù)的l(l+1)放進去，最后的方程是這樣的：

(d2/dr2+2/r·d/dr+(2E-r2-l(l+1)/r2))R=0.

我絕對不會算錯的?！?/p>

“沒問題。這個方程乍一看還是蠻難解的，我們用一點經(jīng)典的物理技巧來優(yōu)化一下它。首先考慮R→∞的遠場情況，此時方程可以簡化為

(d2/dr2-r2)R=0.

顯然這個方程的解是

R=Aexp(±r2/2).

而在無窮遠處R應(yīng)當(dāng)趨近于0，所以

R=Aexp(r2/2).

接下來再考慮R→0的情況，此時方程可以化為

(d2/dr2+2/r·d/dr-l(l+1)/r2)R=0.

類似的，這個方程的解是

R=Br^l或R=Br^(-l+1).

顯然r=0時R應(yīng)當(dāng)是有限值，所以

R=Br^l.

這樣R中至少有上面兩個因子，也就是說

R=r^l·exp(-r2/2)u(r).

這樣我們就把R的方程化成一個u的方程，這一步轉(zhuǎn)化還是交給你來做?！?/p>

“那你再給我五分鐘?！?/p>

“嘿嘿，五分鐘可以讓這個方程變得好看一點，也就是

d2u/dr2+2/r·(l+1-r2)du/dr+(2E+2l-3)u=0.

沒問題吧？”

“沒問題?！蔽乙话驯ё⌒菈m，“不過這東西數(shù)學(xué)上還是很頭疼，所以我們再進行一次變換，取κ=r2，這個方程就變成了

κd2u/dκ2+(l+3/2-κ)du/dκ+(E-l/2-3/4)u=0.

這是一個特殊的數(shù)學(xué)物理方程，我們叫Kummer方程。這個算起來很費勁，也沒必要在這里糾結(jié)。所以我們直接搬過來它的解析解

u=F(g,h,κ)=1+κg/1!h+κ2g(g+1)/2!h(h+1)+......

這里g=(l+3/2-E)/2,h=l+3/2.u是一個無窮級數(shù)，而量子力學(xué)的任何波函數(shù)都是束縛態(tài)，這要求級數(shù)必須在某個位置中斷。中斷的條件是

g=-n.

于是能量E的本征值就是l+3/2,也就是說能級為

En=(n+3/2)hω/2π.

至此我們在還沒有得到波函數(shù)的情況下就得到了能級，這也是之前你看書的時候經(jīng)常遇到的情況吧?！?/p>

“嗯，很常見的事情?！毙菈m靠到我后面把胳膊架到我的肩膀上，“我在你后面沒問題吧?！?br/>

“你倒吊著都可以，我們馬上就要算完了?！?/p>

“這么快嗎？”

“事實上徑向波函數(shù)已經(jīng)得到了。定義z=sqrt(2πμω/h)，則

R(r)=N(zr)^l·exp(-z2r2/2)·F(-n,l+3/2,z2r2).

接下來要求歸一化系數(shù)N.這個積分非常難算，我在這里就把結(jié)果直接搬過來，

N=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)2),

于是

R(r)=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)2)·(zr)^l·exp(-z2r2/2)·F(-n,l+3/2,z2r2).

后面的Y(θ,φ)你應(yīng)該就很熟悉了，它滿足

1/Y·(1/sinθ·d/dθ(sinθ?Y/?θ)+1/sin2θ·?2Y/?θ2)=-l(l+1).

然后我們再一次分離變量，

Y(θ,φ)=J(θ)K(φ),

由于結(jié)果顯而易見我就不讓你算了，

1/J·(sinθ·d/dθ(sinθdJ/dθ))+l(l+1)sin2θ=m2,

1/K·d2K/dφ2=-m2.

這兩個都是經(jīng)典的微分方程。我之前都一步步算過，所以我在這里直接把解搬過來

J(θ)=MP(m/l)(cosθ),（這里m/l的意思是m是上標(biāo)l是下標(biāo)）

K(φ)=exp(imφ).

于是

Y(θ,φ)=MP(m/l)(cosθ)exp(imφ).

這里還需要進行一次歸一化處理。實際情況下我們可以認為m≥0,然后我直接把歸一化系數(shù)M搬過來,

M=((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!)),

于是乎

Y(θ,φ)=((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!))P(m/l)(cosθ)exp(imφ).

最后我們的三維諧振子波函數(shù)就出來了，

Φ(r,θ,φ)=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)2)·(zr)^l·exp(-z2r2/2)·F(-n,l+3/2,z2r2)·((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!))P(m/l)(cosθ)exp(imφ).

這里z=sqrt(2πμω/h),能級E=(n+3/2)(hω/2π),而n,m,l就是我們的量子數(shù)。解答到此就告一段落了?！?/p>

“好吧......雖然看著很難受，但是這確實是少有的能精確解出來的模型了.......”

“今天就到這里，再搞下去你我的頭都會爆掉的?！?/p>

“我現(xiàn)在就已經(jīng)懵了。你把這個手稿留在這里，過一會我肯定還要回顧幾遍的。”

“沒問題?，F(xiàn)在我的工作做完了，輪到你了?！?/p>

“你都宅了兩個多月了，咱們出去走走吧?！毙菈m拉住我的左手，“地球現(xiàn)在不太安全，我?guī)闳ヒ粋€銀河系之外的行星看看，那里可能是你們的一種歸宿。”

（接下來將開啟新的話題，但不會丟下量子力學(xué)這一核心）