《幾何原本》命題4.12【夸克歐氏幾何】
命題4.12：
可作一已知圓的外切正五邊形
已知：圓ABCDE
求：作圓ABCDE的外切正五邊形
解：
作圓ABCDE的內(nèi)接正五邊形，其頂點(diǎn)為點(diǎn)A,B,C,D,E
（命題4.11）
分別過點(diǎn)A,B,C,D,E作圓ABCDE的切線GH,HK,KL,LM,MG，交點(diǎn)分別記為點(diǎn)G,H,K,L,M
（命題3.16推論）
求出圓ABCDE的圓心點(diǎn)F
（命題3.1）
連接BF，CF，DF，KF，LF
求證：五邊形GHKLM等邊且等角
證：
∵KL切圓ABCDE于點(diǎn)C
（已知）
∴CF⊥KL
（命題3.18）
∴∟FCK是直角
（定義1.10）
∴Rt△CFK中，S正方形FK2=S正方形CF2+S正方形CK2
（命題1.47）
同理可證，Rt△BFK中，S正方形FK2=S正方形BF2+S正方形BK2
∴S正方形CF2+S正方形CK2=S正方形BF2+S正方形BK2
（公理1.1）
∵點(diǎn)F為圓ABCDE的圓心
（已知）
∴BF=CF
（定義1.15）
∴S正方形CF2+S正方形CK2=S正方形CF2+S正方形BK2
（公理1.1）
∴S正方形CK2=S正方形BK2
（公理1.3）
∴CK=BK
∵BF=CF，F(xiàn)K公用
（已知）
∴△BFK≌△CFK，∠BFK=∠CFK，∠BKF=∠CKF
（命題1.26）
∴∠BFC=2∠CFK，∠BKC=2∠CKF
（公理1.2）
同理可證，∠CFD=2∠CFL，∠DLC=2∠FLC
∵BC=CD
（已知）
∴?BC=?CD
（命題3.28）
∴∠BFC=∠CFD
（命題3.27）
∴∠CFK=∠CFL
（公理1.1）
∵CF⊥KL
（已證）
∴∟FCK=∟FCL
（定義1.10）
∵CF公用
（已知）
∴△CFK≌△CFL，CK=CL，∠CKF=∠CLF
（命題1.26）
∴KL=2CK
（公理1.2）
同理可證，HK=2BK
∵CK=BK
（已證）
∴2CK=2BK
（公理1.2）
∴HK=KL
（公理1.1）
同理可證，五邊形GHKLM其余的邊都相等
∵∠CKF=∠CLF
（已證）
∴2∠CKF=2∠CLF
（公理1.2）
∵∠BKC=2∠CKF，∠DLC=2∠FLC
（已證）
∴∠BKC=∠DLC
（公理1.1）
同理可證，五邊形GHKLM其余的角都相等
證畢
此命題的證明方法將在本卷后幾個命題中經(jīng)常被提到
PS：按照這一命題中的方法，可以在已知圓的內(nèi)接正n邊形的基礎(chǔ)上作外切的正n邊形
來都來了，點(diǎn)個關(guān)注唄！
