讓·布爾甘（Jean Bourgain）是這個時代最具獨創(chuàng)性、最多才多藝的分析學大師之一，他1994年獲菲爾茲獎，2010年獲邵逸夫獎，2017年獲突破獎。數(shù)學家陶哲軒曾經(jīng)走到布爾甘在普林斯頓高等研究院的辦公室門前，卻不敢敲門拜訪，他曾經(jīng)說，自己的早期工作可概括為：“讀讓的論文，學會他的技巧，嘗試做些改進。” 布爾甘于2018年12月22日去世，他對整個數(shù)學學科做了突出貢獻。在第500篇論文發(fā)表之際，布爾甘親自選定了要展示的兩個成果，其中一個便是這篇文章要介紹的離散化和積不等式，這是布爾甘在連續(xù)統(tǒng)迷宮中探險的成果。在連續(xù)與離散的不斷切換中，我們大概可以體會到布爾甘曾經(jīng)體驗到的、在數(shù)學中思想自由飛舞的樂趣。

——《返樸》編輯部

撰文 | Alexander Gamburd

翻譯 | 唐璐

審校 | 趙世凡

序 ?曲

布爾甘男爵，普林斯頓高等研究院（IAS）數(shù)學院IBM馮·諾依曼講席教授，是我們這個問題重重的時代最具獨創(chuàng)性、最敏銳、最多才多藝的分析學大師之一，值得我們致以最崇高的敬意。

他堅決不肯接受為慶祝他60歲生日召開會議的建議，不過大家還是在他的第500篇論文發(fā)表之際舉行了一次聚會——2016年5月21-24日在普林斯頓高等研究院召開了名為“分析學及其影響：讓·布爾甘的成就及其意義”的會議。會議報告展示了布爾甘工作的深度和廣度，以及對整個學科的突出貢獻和深遠影響。布爾甘親自選定了會議海報上展示的兩個成果。閱讀安德烈·納哈莫德（Andrea Nahmod）2016年發(fā)表在《美國數(shù)學會通報》上的精彩論文可以明顯感受到第一個結果的美和力量。本文則是簡要闡釋第二個成果——離散化和積不等式（discretized sum-product inequality）——的來源、性質(zhì)和發(fā)展。

按照歷史順序，數(shù)學的三大分支是幾何、代數(shù)和分析。幾何主要歸功于希臘文明，代數(shù)起源于印度-阿拉伯，分析（或微積分）則是由牛頓和萊布尼茨開創(chuàng)，并在現(xiàn)代大放異彩。

——邁克爾·阿蒂亞爵士

（Sir Michael Atiyah）

《數(shù)學欣賞：論數(shù)與形》（Von Zahlen und Figuren — On Numbers and Shapes）是一本廣受歡迎的數(shù)學科普書的名字，這個書名體現(xiàn)了一種普遍的看法，即數(shù)學是代數(shù)和幾何的聯(lián)姻。托爾斯泰有句名言，“幸福的婚姻都是相似的，不幸的婚姻各有各的不同，”盡管如此，這個幸福的聯(lián)姻也并不是沒有矛盾（也許，幸福的婚姻也各有各的不同，二分心智可能就屬于這樣的聯(lián)姻）。赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在1939年曾說過，“現(xiàn)如今，拓撲學天使和抽象代數(shù)魔鬼正在爭奪每個數(shù)學領域的靈魂?！?/p>

這種矛盾體現(xiàn)在分析函數(shù)生長的沃土——實數(shù)系——的兩面性中，就好像古羅馬神話中兩面神的臉朝向兩個不同的方向：一方面，它是對加乘運算封閉的域；另一方面，它是連續(xù)的流形，各部分緊密相連，以至于無法彼此精確隔離。實數(shù)的一面是代數(shù)，另一面是幾何。連分數(shù)就是對連續(xù)統(tǒng)進行離散化的一種更本質(zhì)的幾何形式；由于缺乏針對它們的實用加乘算法，從而催生了基于普通（例如十進制）分數(shù)的離散化。

牛頓在發(fā)明微積分時，主要的出發(fā)點是“動力學”（力、加速度），掉落在他頭上的蘋果也體現(xiàn)了這一點；萊布尼茨則似乎對現(xiàn)在被稱為大自然的分形幾何的東西更感興趣?！跋胂笠粋€圓；在圓里面畫三個彼此相切且半徑盡可能大的圓；在這其中每個圓中，以及它們之間的每個空隙中，繼續(xù)畫圓，想象這個過程無限繼續(xù)下去?！比R布尼茨所說的四圓相切的構造也出現(xiàn)在了布爾甘的男爵徽章上。萊布尼茨將直線定義為“曲線，其任何部分都與整體相似，并且這種性質(zhì)不僅體現(xiàn)在曲線之間，也體現(xiàn)在集合之間”，這反映了連續(xù)統(tǒng)的分形特性：康托集*就符合萊布尼茨的定義。[1]

*康托集由不斷去掉線段的中間三分之一而得出，即首先從區(qū)間[0,1]中去掉中間的三分之一，然后在留下的線段[0,1/3] ∪ [2/3,1] 各去掉中間的三分之一，如此直至無窮。

從廣義上說，動力學可以被認為是對變化的研究，變化所處的基本（物理）背景是時間?？低屑瓦B續(xù)統(tǒng)則與時間無關，即在時間中處于靜態(tài)，但是“從某種觀察角度上”它們也存在一種（幾乎）“同樣基本的”變化，即以改變放大比例和“縮放”的形式表現(xiàn)的變化。布爾甘對離散化和積不等式的證明的“多尺度”特征就體現(xiàn)了這一點。

在序曲結束的時候，順便指出一下，布爾甘選擇的兩個成果都不是等式，而是不等式，并作如下評論：

如果說代數(shù)通常被認為是對等式的研究，則分析的核心也許可以認為是不等式或估計，是比較兩個量或式子的大小。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)沒有什么的速度能比光速更快，就是不等式的例子。不等式“2X遠大于X”可以說巧妙地涵蓋了P與NP問題*（對于有限的X來說是如此）和康托連續(xù)統(tǒng)問題**（將X視為第一個無窮基數(shù)）。中學就學過的一個初等不等式斷言，兩個正數(shù)的算術平均值絕不會小于它們的幾何平均值。在這兩個極值之間，有各種各樣重要的估計值。這些估計值體現(xiàn)和量化了底層問題的一些微妙方面，往往很難證明。后面我們將看到，對于離散化和積不等式，這種底層問題是連續(xù)統(tǒng)的代數(shù)性質(zhì)和（分形）幾何性質(zhì)之間的矛盾的核心。分形（fractal）一詞源自拉丁語fractus，意思是破碎分解；代數(shù)（algebra）源自阿拉伯語al-jabr，意思是破碎的部分重新結合。

*P與NP問題中的P是指能夠用算法在多項式時間（Polynomial time）內(nèi)解決的問題，NP則指那些無法快速解決，但如果提供了一個答案，能夠用算法在多項式時間內(nèi)驗證的問題。P與NP問題問的是，P=NP是否成立，即一個能夠在多項式時間內(nèi)驗證的問題是否也能在多項式時間內(nèi)解決。

** 連續(xù)統(tǒng)假設由康托提出，是說在自然數(shù)基數(shù)與實數(shù)基數(shù)之間不存在其他基數(shù)，實數(shù)的基數(shù)嚴格大于自然數(shù)的基數(shù)。

1

起源：掛谷-貝西科維奇問題（Kakeya-Besicovitch Problem）

希爾伯特有一句廣為人知的名言：“如果你能向在街上遇到的第一個人解釋清楚一個數(shù)學問題，這個問題就很好?！比绻寬旃茸谝唬⊿ōichi Kakeya，1917年，大戰(zhàn)正如火如荼，他在一個島國寫了一篇論文）來向隨便一條街上的某個人解釋這個現(xiàn)在以他的名字命名的問題，可能會是這樣：

讓你負責防衛(wèi)一個島嶼，島上有崎嶇陡峭的山峰，你的任務是以最低的財政支出在平坦的山頂購買一塊土地，并且這塊地要具有以下屬性：讓一門長度為1的大炮能指向任何方向。

一個明顯的解是，直徑為1、面積為π/4的圓。掛谷宗一給出了一個解，面積是這個明顯解的一半。他提出的解是三尖內(nèi)擺線，內(nèi)切直徑為1/2的圓。同年，在彼爾姆（1940-1957年間改名為莫洛托夫；現(xiàn)在還是彼爾姆），十月、十一月間的俄國/蘇聯(lián)革命期間，貝西科維奇（A. S. Besicovitch）將面積上限減少到了幾乎為零。

雖然平面（二維空間）中的掛谷集的測度為零，但它的分形維數(shù)為2。[2]有一個基本猜想是，在高維空間中，同樣的現(xiàn)象也成立：例如，三維空間中包含指向所有方向的線的集合具有分形維數(shù)3。這個猜想是調(diào)和分析中許多問題的核心，一直是我們這個時代一些最杰出的分析學家深入研究的主題，布爾甘在1999年取得了重大突破，他將掛谷問題與算術組合聯(lián)系起來（譯注：和積不等式在2004年布爾甘與Nets Katz、陶哲軒合著的研究掛谷問題的論文中給出）。

2

和積現(xiàn)象和連續(xù)統(tǒng)迷宮

算術組合中的一個基本結果是“和積現(xiàn)象（sum-product phenomenon）”，其基本性質(zhì)可以簡單描述如下。當研究從1到9的數(shù)字的加法和乘法表時，人們可能會注意到乘法表中的數(shù)字更多。大致來說，這與從1到9的數(shù)字構成算術級數(shù)的事實有關。如果你將一個構成算術級數(shù)的集合（或它的子集）與其自身相加，它不會增長太多；如果你將一個構成幾何級數(shù)的集合（或它的子集）與其自身相乘，它也不會增長太多。然而，整數(shù)的子集不能既是算術級數(shù)又是幾何級數(shù)，所以它在與自身相乘或相加時都會增長。這可以表示為命題|Α + Α | + |Α?Α| ≥ |Α|1+τ對任何有窮實數(shù)集都成立；其中|Α|度量集合的大小，即集合中元素的數(shù)量。

布爾甘離散化和積不等式N (Α + Α, δ) + N (Α? Α, δ) > N (Α, δ)1+τ處理的是連續(xù)統(tǒng)的無窮子集，式中用“測度熵（metric entropy）”N (Α, δ)度量集合的大小，測度熵是覆蓋Α所需的直徑為δ的球的最少數(shù)量。簡單說，這個不等式說的是，對于連續(xù)統(tǒng)的任意子集，在溫和的假設條件下，當它與自身相乘或相加時，分形維數(shù)會隨之增長。

3

擴展主題中的的離散和連續(xù)變化

擴展圖（Expander）是計算機科學中廣泛使用的高度連通稀疏圖。高連通性對通信網(wǎng)絡顯然很重要。而最容易理解稀疏性必要性的場景也許是大腦神經(jīng)網(wǎng)絡：由于軸突要占據(jù)一定的體積，因此軸突的總長度不可能超過大腦的平均容積與軸突橫截面積之比。事實上，這就是展開圖首次隱含出現(xiàn)在巴爾茨?。╕.M. ?Barzdin）和柯爾莫戈洛夫（A. N. Kolmogorov）1967年的論文中的背景。[3]

現(xiàn)在，基本上有兩種構建數(shù)學結構的原材料來源：隨機性和數(shù)論。隨機正則圖很早就被發(fā)現(xiàn)是擴展圖。最優(yōu)擴展圖的顯式構造——拉馬努金圖（Ramanujan graph）——使用了自守形式理論中堅深的數(shù)論結果，將擴展圖構造為群的凱萊圖（Cayley graph）[4]，其中涉及一些很特殊的生成器選擇。

當我1994年剛開始攻讀博士學位時出現(xiàn)的一個基本問題是，這種擴展在多大程度上只是群本身的屬性，與生成器的選擇無關。我對這個問題著了迷，在彼得·薩納克的指導下，我在1999年的博士論文中取得了部分進展。2005年秋，我與布爾甘合作引入了一些剛發(fā)展出來的與和積現(xiàn)象有關的加性組合學工具（譯注：布爾甘和積不等式），最終針對許多情形解決了這個問題。

尾 ?奏

向?qū)ヂ?lián)網(wǎng)已習以為常的人們解釋布爾甘的成就顯著和非凡的意義時，我們可以強調(diào)它們在數(shù)學物理、計算機科學和密碼學中的應用，這些在現(xiàn)代生活中有巨大的實用價值，尤其是使得互聯(lián)網(wǎng)通信成為可能。它們的精妙、美麗和深邃似乎很難用“平常的語言”來表達。此時此刻，也許我們應當提醒自己，網(wǎng)絡新人類雖然裝備了（源自馮·諾依曼的）各種數(shù)字設備，但也還是人類，仍然著迷于用Twitter表達簡潔而深邃的洞見：面對著似乎虛幻、不真實的對象（例如實數(shù)軸），布爾甘在連續(xù)統(tǒng)迷宮的奇幻探險代表了人類心智偉大卓越的成就。

2005年9月，我女兒剛剛出生六個月，我在IAS訪問并參與亞歷克斯·盧博茨基（Alex Lubotzky）主導的“李群、表示和離散數(shù)學”項目[5]時遇到了讓。我不記得確切的日期，但記得時間：當時是凌晨2點至3點之間。在給女兒換尿片后，我睡不著，前往西蒙尼禮堂，遇到了正去圖書館的讓。在迷迷糊糊的狀態(tài)下，我壯起膽子和他搭話。到天亮時，這個困擾我長達十年的問題終于在讓的辦公室里土崩瓦解。[6]

2005-06年是我生命中最快樂的一年，這一年我往返于以赫爾曼·外爾命名的小徑，外爾的觀點是，“數(shù)學不是外行人所認為的嚴格和無趣的公式；相反，我們在數(shù)學中恰恰站在反映人類自身本質(zhì)的局限和自由的邊界上?！?/p>

本文中描述的布爾甘的大部分工作是在IAS完成的。IAS的徽章是一幅安靜、優(yōu)雅和古典的裝飾藝術作品，描繪了兩位優(yōu)雅的年輕女士，一位著衣，一位裸身，站在一棵結了很多果實的樹旁?；照略O計的典故出于濟慈（John Keats）的《希臘古甕頌》中最后那個著名的對句（譯注：真即是美，美即是真），他的觀點是，“每種藝術的卓越之處在于其強烈性，能夠使所有的令人不悅從與美和真的密切關聯(lián)中消失?！?/p>

在這篇文章中，我嘗試捕捉布爾甘藝術的卓越之處，最后讓我們通過引用他在獲得2017年數(shù)學科學突破獎（Breakthrough Prize in Mathematical Sciences）時的談話來體會一下他強烈的情感：

當你遇到一個被普遍認為無法解決的問題時，通常你甚至都不知道要到哪里去尋找答案。處于那種境況下，我們就像傅立葉一樣被困在沙漠中，完全迷失了方向。而一旦你洞悉真相，你就會在突然間逃離沙漠，一切都展現(xiàn)在你面前。這時我們會感到非常興奮。這是最好的時刻。之前費盡心思卻毫無進展的所有痛苦都是值得的。

作者介紹

亞歷山大·甘博德（Alexander Gamburd），IAS數(shù)學院成員（2007-08，2005-06），紐約城市大學首席數(shù)學教授。

注釋

[1] 萊布尼茨還寫了第一本組合學教科書《組合的藝術》（Dissertatio de arte combinatoria），并發(fā)明了二進制記數(shù)法，這使得現(xiàn)代計算機成為可能，并將在布爾甘探索迷宮的論證中發(fā)揮重要作用。萊布尼茨的第一個作品集在1735年由Rudolf Erich Raspe編輯出版，這位作者后來以《孟喬森男爵的奇幻探險》（Singular Adventures of Baron Munchausen）聞名。

[2] 如果A是曲線，很容易看出N(A, δ)是δ-1階。如果A是曲面，則N(A, δ)近似為δ-2階。這就啟發(fā)了將任意集合的分形維數(shù)定義為N(A, δ) ~ δ-d中的數(shù)字d的想法。

[3] A. N. Kolmogorov & Y. M. Barzdin, On the realization of networks in three-dimensional space, Selected Works of Kolmogorov, vol. 3, Kluwer, Dordrecht, 1993, 194–202[3] PSL2(Fp)在p = 5時與標準生成器相對應的凱萊圖是巴克球（C60）。

[4] https://mathinstitutes.org/highlights/expander-graphs

[5] 布爾甘的日常習慣如下。他會在離餐廳關門不到5分鐘的時候趕到餐廳吃午餐，在下樓時會找人一起用餐（具體找誰主要取決于他們與讓目前正在研究的問題的專業(yè)相關性）。午餐后，日落前，他辦公室的門是半開的。晚上9點左右，讓會帶一瓶紅酒（通常是梅多克）去吃晚餐，之后再來一杯雙倍特濃咖啡（通常是在小世界咖啡館），然后回到辦公室，給妻子和兒子打電話，然后快步走一走，繞著愛因斯坦大道走5圈左右。午夜和日出之間，他的辦公室通常都關著門。他手寫的筆記（風格像莫扎特，不像貝多芬）基本不用改，部分原因是在用餐和散步時，他會想好回到辦公室后寫些什么。

本文翻譯自IAS，原文標題為“Singular Adventures of Baron Bourgain in the Labyrinth of the Continuum”。