(1),什么是大數(shù)呢,大數(shù)有很多,在生活中能用科學計數(shù)法表示的數(shù)字就以足夠了,很少會出現(xiàn)二重指數(shù)。

而自然科學領域最大的數(shù)字莫過于宇宙基本粒子狀態(tài)總和，它的數(shù)值為10^10^10^10^10^122，這是一個很大的數(shù)字。但和葛立恒數(shù)比起來還是微不足道的。那么葛立恒數(shù)到底有多大？它的定義又是什么？

(2),葛立恒數(shù)是葛立恒問題的一個解的上限的虛高估計值。

那么什么是葛立恒問題呢？

葛立恒問題

葛立恒數(shù)是拉姆齊理論（Ramsey theory）中一個極其異乎尋常問題的上限解，是一個難以想象的巨型數(shù)。這個問題表述為：

連接n維超立方體的每對幾何頂點，獲得一個有著2^n個頂點的完全圖（每對頂點之間都恰連有一條邊的簡單圖）。將該圖每條邊的顏色填上紅色或藍色。那么，使所有填法在四個共面頂點上包含至少一個單色完全子圖的最小n值為多少?

這個問題很好理解,現(xiàn)在請你想象一個正方形,把它的每兩個點都連上一條線,這樣你就得到了一個完全圖,所謂完全圖就是將每兩個點都連起來的圖形。然后用兩種顏色,分別是紅和藍。對這個圖形的每一條邊進行染色。你要作的是:不要讓一個平面上都是一種顏色,其實二維很容易做到。

但，如果是三維呢？那么你將得到一個正方體，將所有頂點連起來會得到28條線。然后再按上述規(guī)則操作，你就會得到:(見下圖)

其實,三維也可以做到,如果想在四維也做這個事情,那么就有些困難了,因為隨著維度的增加,所連的點數(shù)也會成指數(shù)增長,最后會讓你崩潰。

但美國數(shù)學家葛立恒卻給出了一個上界,這個解的維度最大也大不過這個G,其中G就是葛立恒數(shù)。

那么葛立恒數(shù)到底有多大呢？

為了表示它的大小,科學計數(shù)法已經(jīng)無法表示了,我們需要一種運算,叫做上箭號表示法。全稱高德納箭號表示法。

它的定義如下:

a↑b=a^b

a↑↑b=a↑(a↑…(a↑a)…)一共迭代了b次。

a↑↑↑b=a↑↑(a↑↑(…))

…

以此類推,那么現(xiàn)在的數(shù)已經(jīng)有多大了呢？就拿兩個3為例

3↑3=3^3=27

3↑↑3=3↑3↑3=3^3^3=3^27≈7.625*10^12

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3^3^3)=3^3^3…^3^3

一共有3^3^3個3的迭代冪次,其實哪怕是3↑↑5就已經(jīng)很恐怖了,見下圖:

就更不要說3↑↑↑3了,其實就這個數(shù)就已經(jīng)超越了任何科學意義上所能達到的最大限度了。

但葛立恒數(shù)還要比這大的多。

如果定義g(0)=4,g(1)=3↑↑↑↑3,g(n)=3↑↑…↑3共有g(shù)(n-1)個連續(xù)的箭頭。

那么葛立恒數(shù)=g(64)

或者定義a↑^(c)b=a↑↑…↑b，共有c個連續(xù)的箭頭的話,葛立恒數(shù)可以表示為:

其實,就最下面那層3↑↑↑↑3,也就是g(1)就已經(jīng)非常巨大了,如果定義A(1)=3,A(2)=3^3^3,A(n)=3^3^…3共有A(n-1)個三的話,那么g(1)=A(A(3)),通俗點說,見下圖。

做為對比,第一層就已經(jīng)非常巨大了,但葛立恒數(shù)是最大的數(shù)嗎？沒有最大的數(shù),但葛立恒數(shù)已經(jīng)被多個數(shù)字超越,下面就來看一下葛立恒數(shù)在List of googolisms里的排名吧。

下面是TREE(3)以及SCG(13)的排名

差距就是這么大…

在這些更高層級的可計算數(shù)字里所用的運算符也相當復雜,不然也絕不容易表示出一個比SCG(13)還大的數(shù)字,最后就來看一下葛立恒數(shù)還可以用那些運算符號表示。

康威鏈式箭號:

≈3→3→64→2~3→3→65→2

BEAF≈{3,65,1,2}

E#系統(tǒng):≈E[3]3##4#64

超階乘數(shù)陣:≈64![2]

另外在葛立恒數(shù)G再被求出之前,這個數(shù)已經(jīng)有了一個上界=F^7(12),F(n)=2↑^(n)3.

直到現(xiàn)在為止,葛立恒問題的下界以被提升至13,而上限則被降到了2↑↑2↑↑2↑↑9,這個數(shù)仍然特別大。

最后放出葛立恒數(shù)G的最后五百位:

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387