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斯特林公式（Stirling's approximation）是一條用來(lái)取n的階乘的近似值的數(shù)學(xué)公式。一般來(lái)說(shuō)，階乘的計(jì)算復(fù)雜度為線(xiàn)性。當(dāng)要為某些極大大的n求階乘時(shí)，常見(jiàn)的方法復(fù)雜度不可接受。斯特林公式能夠?qū)⑶蠼怆A乘的復(fù)雜度降低到對(duì)數(shù)級(jí)。而且，即使在n很小的時(shí)候，斯特林公式的取值已經(jīng)十分準(zhǔn)確。

斯特林公式如下：

我們已經(jīng)知道ln(1+x)與ln(1-x)的泰勒展開(kāi)：

設(shè)x=1/(2n+1)?，n=1，2，3，···，得：

所以上式子就變?yōu)榱耍?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cln%20%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B2%20n%2B1%7D%5Cleft%5B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(2%20n%2B1)%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(2%20n%2B1)%5E%7B4%7D%7D%2B%5Ccdots%5Cright%5D" alt="%5Cln%20%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B2%20n%2B1%7D%5Cleft%5B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(2%20n%2B1)%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(2%20n%2B1)%5E%7B4%7D%7D%2B%5Ccdots%5Cright%5D">

而右邊的式子<

因?yàn)樽笫斤@然＞1，所以有

取一下指數(shù)：

設(shè)一下：那么

由上面的不等式知道： 所以該數(shù)列其實(shí)是單調(diào)遞減的，且顯然一定有下界0

那么該數(shù)列的極限一定存在，不妨設(shè)為a

最終得到：我們能看出來(lái)左右兩個(gè)數(shù)列是單調(diào)遞增的。

而，所以

又

兩邊取下指數(shù)：

那么游戲就進(jìn)行到了一半，現(xiàn)在可以得出結(jié)論：

把前面的an帶進(jìn)去：

Wallis圓周率無(wú)窮乘積公式：

而

將前面的結(jié)論n變成2n:

故

帶回到極限中：

所以

大功告成，代回我們之前的結(jié)論：即斯特林公式。

n很大的時(shí)候：

所以

斯特林公式在理論和應(yīng)用上都具有重要的價(jià)值，對(duì)于概率論的發(fā)展也有著重大的意義。在數(shù)學(xué)分析中，大多都是利用Г函數(shù)、級(jí)數(shù)和含參變量的積分等知識(shí)進(jìn)行證明或推導(dǎo)，很為繁瑣冗長(zhǎng)。近年來(lái)，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用概率論中的指數(shù)分布、泊松分布、χ2分布證之。

以下是一個(gè)計(jì)算斯特林公式的近似值的代碼。（使用Python語(yǔ)言）：

請(qǐng)注意，斯特林公式是一個(gè)近似公式，對(duì)于較大的n，它的近似值更加準(zhǔn)確。