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【種花家務·代數(shù)】2-3-08用代入消元法解三元一次方程組『數(shù)理化自學叢書6677版』

2023-12-01 15:09 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第三章一次方程組?

§3-8用代入消元法解三元一次方程組

【01】解二元一次方程組的時候，我們是先消去一個未知數(shù)，解所得的一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值，然后再求所消去的一個未知數(shù)的值。同樣，在解三元一次方程的時侯，我們也可以設法消去一個未知數(shù)，得出兩個關(guān)于其他兩個未知數(shù)的一次方程，解這個二元一次方程組，求得其他兩個未知數(shù)的值，再求所消去的一個未知數(shù)的值。消去未知數(shù)的時候，可以用代入法，也可以用加減法?，F(xiàn)在先來研究代入消元法。

例1.解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D2x%2B3y%2Bz%3D11%2C%26(1)%5C%5Cx%2By%2Bz%3D6%2C%26(2)%5C%5C3x-y-z%3D-2.%26(3)%5Cend%7Bcases%7D$

【分析】設法先消去未知數(shù) z，得出只含有未知數(shù)如 x，y 的二元一次方程組。

【解】

????????從(1)，得 z＝11－2x－3y……(4)

????????以(4)代入(2)，得 x＋y＋(11－2x－3y）＝6，就是 x＋2y＝5……(5)

????????以(4)代入(3)，得 3x－y－(11－2x－3y）＝－2，就是 5x＋2y＝9……(6)

????????解(5)和(6)組成的二元一次方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????以 x＝1，y＝2 代入(4)，得 z＝3? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2%2C%5C%5Cz%3D3.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗從略。

【說明】也可以先消去 x 或者 y，讀者可以自己完成。

例2.解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B3x-y%2B7%3D0%2C%7D%26%26%7B(1)%7D%5C%5C%7By%2B4z%3D3%2C%7D%26%26%7B(2)%7D%5C%5C%7B2x-2z%3D-5.%7D%26%26%7B(3)%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】這個方程組的各個方程都只含有兩個未知數(shù)，從(1)和(2)消去 y 就得到一個關(guān)于 x，z 的方程，可以直接和(3)求解。

【解】

????????先消去 y? 。從(1)，得 y＝3x＋7……(4)

????????以(4)代入(2)，得 3x＋7＋4z＝3，就是 3x＋4z＝－4……(5)

????????解(3)和(5)組成的方程組： $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x-2z%3D-5%2C%5C%5C3x%2B4z%3D-4.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ ?得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx--2%2C%5C%5Cz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????以 x＝－2 代入(4)，得 y＝1? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx-2%2C%5C%5Cy%3D1%2C%5C%5Cz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bcases%7D$ 檢驗從略。

習題3-8

用代入法解下列各方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dz%3Dx%2By%2C%5C%5C2x-3y%2B2z%3D5%2C%5C%5Cx%2B2y-z%3D3.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%2Bz%3D2%2C%5C%5Cx-2y%2Bz%3D-1%2C%5C%5Cx%2B2y%2B3z%2B1%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D27%2C%5C%5Cy%2Bz%3D33%2C%5C%5Cx%2Bz%3D30.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D2x%2B3y-z%3D18%2C%5C%5C3x-2y%2Bz%3D8%2C%5C%5Cx%2B2y%2Bz%3D24.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall1.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D3%2C%5C%5Cz%3D5%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D1%2C%5C%5Cz%3D-2%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D12%2C%5C%5Cy%3D15%2C%5C%5Cz%3D18%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D6%2C%5C%5Cz%3D8.%5Cend%7Bcases%7D$