# 這門課前五周自由場論，是理論物理本科生必修，后半段相互作用場論作為選修課是從第九周開始的，所以筆記也是停了幾周。中間這幾周其實研究生還是有課的，內(nèi)容的話主要是一些量子龐加萊變換、一些分立對稱性的討論。這邊暫時沒專門整理，因為有一部分筆者已經(jīng)結(jié)合自學(xué)理解整理在#4中了，剩下的暫時沒空管。

# 這次仍然是兩周連更。

電磁場量子化

自由場論這一部分我們講的比較簡略。相關(guān)內(nèi)容一般在規(guī)范場論中討論。

涉及一些電磁場Feynman傳播子的內(nèi)容，所以提幾句。

電磁場量子化存在困難：四維勢?有4個自由度，而物理光子 (0質(zhì)量) 只有2個極化，需要去掉兩個自由度，一般通過選取規(guī)范來完成。

下面討論協(xié)變量子化，得到 Feynman 傳播子。

先選取 Lorentz 規(guī)范。

電磁場的拉氏量：

考慮到Lorentz規(guī)范，可以將拉氏量增加一個修正項：

代入歐拉-拉格朗日方程，得

可以取 ξ=1，成為 Feynman規(guī)范。

然而Lorentz規(guī)范過于嚴(yán)格，會出現(xiàn)一些問題，比如說一般的等時量子化會違反Lorentz規(guī)范。

實話說這一段我不太熟，沒完全搞懂。

不如先記住傳播子，以后大約會常用：

傳播子這東西，物理含義差不多就是兩個點源之間的影響。

自由場論到這收尾結(jié)束了，后面該講后半段相互作用場論了

相互作用場論

這是完整的拉氏量，前一項是只含場的二次型的自由場拉氏量，后一項是相互作用項 (interaction)。

哈密頓量也相應(yīng)變?yōu)?/p>

相互作用項至少是三個場的乘積。

回顧自由場論，將場量子化為無窮多諧振子的線性組合，但不同場彼此退耦，互不影響。

相互作用場論中，為無窮多耦合的諧振子。

一些常見的相互作用 Lagrangian：

再如描述核子相互作用的 Yukawa?（湯川）理論：

量子電動力學(xué)，描述電子和光子的相互作用：

標(biāo)量，比如一些帶電但不帶自旋的粒子和光子的相互作用

量子電動力學(xué)（QED）以后要重點學(xué)習(xí)。這里多一些討論

如果定義協(xié)變導(dǎo)數(shù)

則可以寫為

該拉氏量存在局域的 U(1) 規(guī)范不變。

相互作用QFT存在困難：

相互作用勢能項和自由場哈密頓量不對易，所以自由場真空和相互作用場真空不同。

相互作用QFT沒有精確解析解，計算復(fù)雜。

耦合常數(shù)較小時，可用微擾論。

微擾論可以計算不穩(wěn)定粒子的衰變寬度、散射截面。

* 事實上散射和衰變就是研究微觀粒子最重要的物理過程?，F(xiàn)實中認(rèn)識我的朋友也知道，我目前在跟導(dǎo)師做高能實驗方向的科研工作，具體來說就是搓代碼分析各種奇奇怪怪的衰變過程出來的數(shù)據(jù)。

S 矩陣

S 矩陣，或叫散射矩陣。關(guān)于S矩陣的這一段，感覺課上講的有點亂。

它是量子散射理論的核心概念，描述系統(tǒng)從初態(tài)到末態(tài)的振幅。S 矩陣元：

beta，alpha分別是散射的末態(tài)和初態(tài)（海森堡繪景下的）。

S矩陣要滿足的性質(zhì)：

S矩陣為幺正的。

S矩陣體現(xiàn)所有的對稱性。

S 矩陣常常被寫為以下形式：

第一項代表無相互作用的向前散射；第二項的 δ 函數(shù)意味著散射過程 4 動量守恒；

m_βα 包含了散射過程的所有動力學(xué)，稱為不變振幅。

只要得到這個不變振幅，就可以進(jìn)一步計算更多可觀測物理量的理論值。

微擾論

傳統(tǒng)的微擾論：Lippmann-Schwinger 方程。

優(yōu)勢：中間態(tài)都是物理的、在殼的

也有缺陷：

中間態(tài)能量分母不協(xié)變；只有3動量守恒，能量有問題；要考慮不同時序，圖大量增加。

都什么年代了，還用傳統(tǒng)微擾論？

協(xié)變微擾論？

相互作用繪景

相互作用繪景 (I) 介于海森堡繪景 (H) 和薛定諤 (S) 繪景之間。

話說相互作用下哈密頓量有自由場部分 H0，一般不含時；有相互作用部分 V，一般含時。即：

S繪景把所有時間演化塞給態(tài)矢，H繪景把所有時間演化塞給算符。

相互作用繪景的思路就是只把 H0 的影響塞給態(tài)矢。

State:?

Operator:?

于是相互作用繪景的態(tài)和算符滿足的時間演化方程為：

基于相互作用繪景，可以進(jìn)行一些散射矩陣的計算。

利用上面的方程?，考慮到初態(tài)就是

于是把態(tài)寫成形式

反復(fù)迭代，利用 Dyson 級數(shù)，（我不太熟，總之是一些很神奇的數(shù)學(xué)寄巧），給出S算符的一種積分形式：

S算符將散射初態(tài)變換到散射末態(tài)。

可以利用?

把散射算符寫成這一形式：

【時序乘積】

上面積分式中的??就是時序乘積，

T的作用是把后面那些乘積強行按照時間先后順序排列。

為了處理時序乘積，需要 Wick 定理。

而在討論Wick定理之前，又需要再引入一個正則排序：

也就是在一系列算符乘積中，改變順序把所有產(chǎn)生算符放左邊，湮滅算符放右邊。

討論比較復(fù)雜，這里先放結(jié)論：

【W(wǎng)ick 定理】

其中場算符的 “縮并” 定義為：

例如，四個場算符的時序乘積，應(yīng)用 Wick 定理應(yīng)為：

舉例：勢散射計算。

最后這一段直接上手寫筆記了，因為很多費曼圖，而專欄有圖片數(shù)量限制。下面就是一個散射計算的事例，具體過程是兩個標(biāo)量粒子 Φ 按 Φ^4 勢相互作用發(fā)生散射的具體計算。

經(jīng)過這些計算，得到被考慮的相互作用的費曼規(guī)則之后，只需要畫出所有有貢獻(xiàn)的費曼圖，就可以利用費曼規(guī)則直接得出不變振幅 m_βα 了。

這次先到這里，之后的筆記會討論更多相互作用勢的費曼規(guī)則。