預(yù)備知識：

1. Q是有理數(shù)集的縮寫，是英語單詞quotient（商）的縮寫，因為有理數(shù)一定是兩個整數(shù)的商；

2. 【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep2】讀懂?dāng)?shù)學(xué)書避不開的邏輯規(guī)律：例3；

3. 三角形ABC中，若D為BC的中點，由平行四邊形原理可知：AD=（AB+AC）/2；

4. 行列式的性質(zhì)：

1. 行列互換，行列式不變（把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記為A'）；

2. 行列式一行的公因子可以提出去；

3. 行列式中若有某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和：

   這兩個行列式的這一行分別是第一組數(shù)和第二組數(shù)，則其余各行與原來行列式的相應(yīng)各行相同；

4. 兩行互換，行列式反號；

5. 兩行相同，行列式的值為0；

6. 兩行成比例，行列式的值為；

7. 把一行的倍數(shù)加在另一行上，行列式的值不變。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

設(shè)S={x|x∈Q并且x^2<3}，證明：S在Q內(nèi)沒有上確界與下確界。

證（反證法+分類討論+放縮法）：假設(shè)S有上確界a∈Q，又a^2恒不為3，所以有兩種情況——

a.情形一：a^2<3——

1. 存在自然數(shù)n，（a+1/n）^2<3，即

   （a+1/n）^2<a^2+2a/n+1/n^2<3，則2a/n+1/n^2<3-a^2；

2. （放縮：對自然數(shù)n，n^2>=n，則1/n^2<=1/n）

   2a/n+1/n^2<=（2a+1）/n<3-a^2，即

   n>（2a+1）/（3-a^2），（由阿基米德公理：）這樣的n一定存在，于是

   a<a+1/n∈S，于是a不是S的上確界。

b.情形二：a^2>3——

1. 存在自然數(shù)n，（a-1/n）^2>3，即

   （a-1/n）^2=a^2-2a/n+1/n^2>3，則-2a/n+1/n^2>3-a^2；

2. -2a/n+1/n^2>-2a>/n>3-a^2，即n>-2a/（3-a^2），（由阿基米德公理：）這樣的n一定存在，于是a-1/n也是S的上界，于是a不是S的確界。

綜合1，2，a在有理數(shù)范圍內(nèi)沒有上確界，同理，a在有理數(shù)范圍內(nèi)沒有下確界。

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

證明四面體對邊中點的連線交于一點且互相平分。

證：對四面體ABCD，存在三對對邊AB與CD，AC與BD，AD與BC，取AB中點E，CD中點F，EF連線的中點記為P1，其余兩組對邊中點連線的中點記為P2，P3，要證三點重合，即可以用等價表達(dá)式表出——

1. 先找空間中不共面的三個向量作為基底：AB、AC、AD；

2. AP1

   =（AE+AF）/2

   =[AB/2+（AC+AD）/2]/2

   =（AB+AC+AD）/4，

   同理，
   

   AP2=（AB+AC+AD）/4，AP3=（AB+AC+AD）/4，

   即AP1=AP2=AP3，則四面體對邊中點的連線交于一點且互相平分，證畢。
   

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：

證：