原視頻：BV1k3411C73Y

一、拋物線沿x軸滾動(dòng)

第一個(gè)思路是變換參考系：

若運(yùn)動(dòng)過程中拋物線為參考系，那么地面所在直線就是拋物線上的一點(diǎn)切線，這時(shí)可以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(參數(shù)方程)快速寫出切線的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，然后再用伽利略變換(參考系變換)將參考系變?yōu)橹本€即可

但目前我的知識儲(chǔ)備還不夠，因此尚未能用此法寫出解析，先在此留下一個(gè)給自己的疑問吧，以后學(xué)會(huì)了再來寫此法的解析。若網(wǎng)友們感興趣也可幫助寫此法解析[doge].

但我們?nèi)阅芙柚蠄D，下面介紹個(gè)人所想到的證法：

設(shè)拋物線方程為：,即,焦點(diǎn)坐標(biāo)為:

設(shè)曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)為：

該點(diǎn)關(guān)于拋物線的切線斜率為：

則切線傾斜角為：

運(yùn)用弧長公式求得由頂點(diǎn)到該點(diǎn)的曲線長度(即滾過的弧長)為：

則滾動(dòng)過程中切點(diǎn)坐標(biāo)為：

再考慮到拋物線在滾動(dòng)時(shí)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，先將拋物線平移，使得切點(diǎn)平移至點(diǎn)處，再繞著旋轉(zhuǎn)一定角度使得拋物線與x軸相切(且拋物線恒在x軸上方)

我們只需將拋物線做以上的變換即可。

而繞著非原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)較難直接描述，需要先平移至原點(diǎn)再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換最后再平移回，因此有了如下的步驟和解析。

1、將拋物線沿向量平移，使得切點(diǎn)平移至原點(diǎn)

此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)平移至：

二、將拋物線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度，使得拋物線與x軸相切

取以原點(diǎn)為起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，作順時(shí)針的旋轉(zhuǎn)變換得：

此時(shí)焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至：

3、將拋物線向右平移個(gè)單位，使得切點(diǎn)平移至滾動(dòng)時(shí)的切點(diǎn)，即得滾動(dòng)后拋物線

此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)平移至：

上述即滾動(dòng)時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)，下面再將l和θ用參數(shù)m表示即可

下面計(jì)算弧長l

令,原式

下面用雙曲代換求解

令,

其中

代回得：

再求出θ,其中

構(gòu)造直角邊為m,p的直角三角形求得：

綜上，滾動(dòng)時(shí)焦點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)方程為：

化簡得：，其中m為參數(shù)

由①得，，代入②式消參得：

該曲線為雙曲余弦函數(shù)，即運(yùn)動(dòng)軌跡為懸鏈線

二、拋物線在相同的拋物線上滾動(dòng)(這個(gè)稍微簡單些)

由于兩拋物線大小和形狀相同，且動(dòng)拋物線由頂點(diǎn)開始沿定拋物線滾動(dòng)，則滾過的路徑與此刻切點(diǎn)到定拋物線頂點(diǎn)的弧長相等，也即動(dòng)拋物線和定拋物線關(guān)于切點(diǎn)A處的切線軸對稱(如上圖所示)

因此求出每一時(shí)刻定拋物線焦點(diǎn)關(guān)于切點(diǎn)A切線的對稱點(diǎn)即動(dòng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)定拋物線方程為：,即,焦點(diǎn)坐標(biāo)為:

設(shè)A坐標(biāo)為：

A點(diǎn)關(guān)于拋物線的切線方程為：

化為直線一般方程，即

過定拋物線焦點(diǎn)作該切線垂線，方程為：

聯(lián)立，解得：

即動(dòng)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,即

故動(dòng)拋物線焦點(diǎn)在定拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)

下面再用相關(guān)點(diǎn)法求取動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線方程

即求定拋物線準(zhǔn)線關(guān)于切線的對稱直線的方程

設(shè)動(dòng)拋物線準(zhǔn)線方程上一點(diǎn)為(x?,y?)

過該點(diǎn)作切線的垂線，方程為：

聯(lián)立

解得：

則(x?,y?)關(guān)于切線對稱點(diǎn)坐標(biāo)為：

該點(diǎn)位于定拋物線準(zhǔn)線上，則有

∴動(dòng)拋物線準(zhǔn)線方程為：

化為：

求取直線所過定點(diǎn)，則x,y值與變量m無關(guān)，則需滿足m的各次項(xiàng)前系數(shù)均為0：

，解得：

∴動(dòng)拋物線準(zhǔn)線恒過定拋物線的焦點(diǎn)