第三章 導(dǎo)數(shù)與微分

3.1導(dǎo)數(shù)的定義

1.導(dǎo)數(shù)的定義 y=f(x)在x。某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x在x。處取得增量Δx時(shí)，相應(yīng)的因變量y取得增量Δy=f(x。+Δx)-f(x。) 若

存在，則稱(chēng)f(x)在x。處可導(dǎo) 此極限即為f(x)在x。處的導(dǎo)數(shù)

定義式另一種形式：令x。+Δx = x Δx → 0 ?x → x。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

y=f(x)在x。處的導(dǎo)數(shù) 也就是f(x)在x。處切線(xiàn)的斜率

在（x。，y。）處

切線(xiàn)：y-y。= f'(x。)(x-x。)

法線(xiàn)：y-y。 = -[1/f'(x。)](x-x。)

3.左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)（從導(dǎo)數(shù)定義中衍生而來(lái)）

導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，類(lèi)比于函數(shù)極限與函數(shù)左右極限的關(guān)系

4.導(dǎo)數(shù)的左極限/右極限

①先求導(dǎo)函數(shù)

②再求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的左/右極限

結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的左右極限與左右導(dǎo)數(shù)無(wú)直接聯(lián)系

5.可導(dǎo)性

f(x)在x?？蓪?dǎo)，必滿(mǎn)足：

①f(x)在x。連續(xù)(可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo))。

②f(x)在x。處左右導(dǎo)數(shù)存在且相等

6.f(x)在[a,b]可導(dǎo)：

①f(x)在(a,b)可導(dǎo)

②f'+(a)和 f'-(b)存在(左端點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，右端點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù))

7.分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，一定要用定義來(lái)求解，有可能不可導(dǎo)。

8.四則運(yùn)算

9.常用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)：