2023年數(shù)學(xué)建模美賽備戰(zhàn)參考—微分方程建模

微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問(wèn)題。把形形色色的實(shí)際問(wèn)題化成微分方程的定解問(wèn)題，大體上可以按以下幾步：?

1、根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。?

2、找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。?

3、運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和定解條件。?

列方程常見(jiàn)的方法有：?

1、按規(guī)律直接列方程?

在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題列出微分方程。?

2、微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法?

自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過(guò)變量的微元之間的關(guān)系式來(lái)表達(dá)的。對(duì)于這類問(wèn)題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過(guò)?

微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的微元之間的關(guān)系式，然后再通過(guò)取極限的方法得到微分方程，或等價(jià)地通過(guò)任意區(qū)域上取積分的方法來(lái)建立 微分方程。?

3、模擬近似法?

在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實(shí)際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。?

在實(shí)際的微分方程建模過(guò)程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實(shí)際情況，作出一定的假設(shè)與簡(jiǎn)化，并要把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)照驗(yàn)證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問(wèn)題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的目的。