3D 成像原理
虛擬相機是圖形學實踐無法回避的一個話題。
曾經(jīng)有一個問題困擾過我：在 Ray Tracing 中，我們從虛擬相機發(fā)射了一條光線，光線與屏幕相交然后和進入場景之中，擊中場景中的物體，再從擊中點要么尋求和光源是否有直接連線，要么從擊中點發(fā)出新的光線，然后以此為依據(jù)隊屏幕像素進行著色。
這是一個非常合理的過程，屏幕和物體都處在合理的順序上。但不要忘了虛擬相機和屏幕之間是有一部分間距的，要是物體位于這個間距之間呢？那我們剛剛的理論似乎說不通了，但事實是，這種情況仍然能夠成像。這是為什么呢？讓我們一起探討一下成像原理吧。
相機成像
攝影的原理主要包括兩個部分：
將圖像存儲在膠片或者文件中
在相機中生成圖像
我們主要關(guān)心后者。現(xiàn)實世界中最簡單的相機類型是針孔相機，圖形學中的虛擬相機常常模擬的也是針孔相機的特性。當然也有更加復雜逼真的相機模型，但這并不在本文的討論之列。
針孔相機對應的物理現(xiàn)象是小孔成像，其背后的光學依據(jù)是光沿直線傳播。
小孔成像
所謂小孔成像，即在物體和成像平面之間放置一個帶孔平面，那么成像平面上就會形成物體的倒像，如圖：
針孔相機
光圈
在針孔相機中，這個小孔被稱作是光圈。所有進入相機的光線都會匯聚到這一點，并在另一側(cè)發(fā)散。
光圈的大小控制成像的清晰度：光圈越小，成像越清晰。光圈越大，成像越模糊。
如下圖所示，光圈足夠小時，物體上 A 點在成像平面上對應 A’，而當光圈較大時，A 點就會對應多個點（實際上是 A’A’’ 整個區(qū)域）。所以造成了成像的模糊。
光圈的大小也和物體的大小相關(guān)，當物體很大時，較大的光圈也可以生成可以接受的圖像。因為對于較大的物體，我們并不苛求它的每個細節(jié)都盡善盡美。不過光圈越小，分辨率越高。
不過光圈也并不是越小越好，光圈越小，通過的光線也就越少，成像的亮度會降低，光圈太小還可能造成隊成像不利的衍射反應。
曝光時間
正如上文所說，光圈越小，固定時間內(nèi)通過的光線也就越少。為了到達成像所需的光量，就需要一定的曝光時間。我們希望曝光時間越短越好，所以需要在清晰度和曝光時間中折衷取舍。
透鏡相機
透鏡相機解決的就是曝光時間過長的問題。
其工作原理可以簡單描述為在光圈處放置一個凸透鏡，凸透鏡可以收集進入相機的光線，然后再將其匯聚到成像平面上的一點。其成像規(guī)則遵循凸透鏡成像的規(guī)則：
>?焦距：透鏡的光心到光聚集之焦點的距離
當物距大于2倍焦距時，則像距在1倍焦距和2倍焦距之間，成倒立、縮小的實像
當物距等于2倍焦距時，則像距也在2倍焦距，成倒立、等大的實像
當物距小于2倍焦距時，大于1倍焦距時，則像距大于2倍焦距，成倒立、放大的實像
當物距等于1倍焦距時，則不成像，光線平行射出
當物距小于1倍焦距時，則成正立、放大的虛像，此時像距大于物距，像比物大，物像同側(cè)
現(xiàn)實中的相機構(gòu)造并非如此簡單，它一般是多個凸透鏡和凹透鏡的組合，而且可以實現(xiàn)變焦，不過整體發(fā)揮的效用跟單獨的凸透鏡相似。
景深
景深指的是相機對焦點前后相對清晰的的成像范圍，在景深之內(nèi)的成像比較清楚，在這個范圍之前或者之后的成像則比較模糊。如圖所示：
景深通常是由物距、鏡頭焦距和鏡頭的光圈值共同決定的。景深的精確計算請參閱景深（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AF%E6%B7%B1）。
然而，因為針孔相機并不使用透鏡，所以它具有它一般沒有景深這個概念，即物體的清晰度和它距離相機的距離無關(guān)。我們可以使用針孔相機拍出完全清晰的圖像。
同理，如果我們在圖形學計算中模擬針孔相機也是具有無限景深的，場景中所有的對象都非常清晰。不過我們可以通過其他手段來模擬景深。
視場角
后文我們討論的相機類型如果沒有特意指出的話都默認為針孔相機，因為我們在圖形學實踐中經(jīng)常模擬針孔相機的一些性質(zhì)，但并不完全等同于真正的針孔相機。
前文我們已經(jīng)定義過了透鏡相機的焦距（Focal Length），而針孔相機的焦距有所不同。針孔相機的焦距是從成像平面到光圈的距離。
關(guān)于焦距，我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：當成像平面越接近光圈時，成像越小，如下圖所示：
成像平面 P’ 對應的焦距是 f1，成像平面 P 對應的焦距是 f2，前者的成像區(qū)域 l’ 小于后者 l。
與此同時，在成像平面 P’ 所能看到的場景范圍要比 P 更大，因為同一物體占據(jù)了屏幕更小的范圍，意味著能夠容納更多的物體。
以我個人的經(jīng)驗來看，這一特性在實踐中經(jīng)常用到，特別是在描述相機性質(zhì)的時候，圖形學中將其稱之為視場角（Field of View，F(xiàn)OV）。
總結(jié)一下就是，焦距越小，視場角越大，可見的場景范圍越大。
視場角在在 3D 空間中分為兩種，水平視場角和垂直視場角，如圖所示：
我們在具體看一下視場角和焦距之間的關(guān)系：
假設我們使得 canvas size 始終等于膠片尺寸（事實上大多數(shù)情況下也正是這樣）。那么焦距，膠片尺寸，視場角這三者就是相互關(guān)聯(lián)的。
虛擬相機
虛擬相機的特性
我們在圖形學中經(jīng)常使用的虛擬相機和上文述及的針孔相機有所不同。主要表現(xiàn)在以下幾個方面：
如果使用光柵化技術(shù)進行渲染，那么虛擬相機會有一個近裁剪平面和遠裁剪平面。只有兩個裁剪平面之間的對象是可見的。
虛擬相機的成像平面位于相機光圈之前，而不是之后，所以成像也不是倒像，而是正像
現(xiàn)實中的相機受制于物理規(guī)則，成像平面不能位于光圈之前，而虛擬相機則不受這種限制。
而如果成像平面位于光圈之前，那么光圈的位置（也就是投影中心）就是視點的位置，也就是 Ray Tracing 中發(fā)射出射線的位置。
裁剪平面
裁剪平面是光柵化所必須的，卻不是 Ray Tracing 所必須的，通常在 Ray Tracing 中并不使用裁剪平面。
裁剪平面分為近裁剪平面和遠裁剪平面。二者位于虛擬相機之前，并平行于成像平面。比近裁剪平面更近或者比遠裁剪平面更遠的區(qū)域?qū)ο鄼C來說是不可見的。
虛擬相機的坐標系
我們想建立關(guān)于虛擬相機的坐標系。想象一下，這個坐標系以相機位置，也就是光圈位置為原點，我們?nèi)绾瓮茖С銎?x, y, z 軸？
和觀察矩陣的推導類似，我們還需要一個 target 目標點和一個 up 向量。我們假設虛擬相機的坐標系是一個右手坐標系。推導過程如下：
在上面的右手坐標系中，成像平面可以位于 -w 軸上的任意位置。
而在 Ray Tracing 中，成像平面也可以位于 -w 軸上的任意位置。
當視點和成像平面之間的距離為1時可以簡化運算。
觀察坐標和世界坐標的相互轉(zhuǎn)化
是從觀察坐標轉(zhuǎn)換為世界坐標還是從世界坐標轉(zhuǎn)化為觀察坐標，取決于我們使用的渲染方式：
如果是光柵化過程，是將物體的頂點坐標從世界坐標轉(zhuǎn)換為觀察坐標
光柵化是以對象為中心的
我們需要將對象的坐標經(jīng)歷一系列的轉(zhuǎn)換過程：局部坐標—世界坐標—觀察坐標—裁剪坐標—NDC 坐標—屏幕坐標
圖像是由投影到圖像上的”點“（并不是點，只是比喻）集合而成的
而如果是 Ray Tracing，則是從觀察坐標轉(zhuǎn)換為世界坐標。因為我們的光線是以虛擬相機坐標系構(gòu)建的
Ray Tracing 的運作方式與光柵化相反，是以圖像為中心的
不是沿著光線的自然路徑從對象到相機，而是沿著相反的方向由相機到對象
UV 坐標的三維化
我們已經(jīng)討論完了 3D 成像的一些最基本的原理，盡管我們省略了很多細節(jié)。
讓我們重新回到最開始的問題。
在 Ray Tracing 中，我們從一個像素的位置開始，我們所做的主要工作就是將其轉(zhuǎn)換為成像平面上的一個點 P，連接視點 C 和 P 就能夠確認光線的方向，視點 C 就是光線的起點。
我們拿到的是像素坐標，設這個坐標為 P，需要對其進行歸一化，轉(zhuǎn)換到 NDC 空間中。然而雖然我們的坐標得到了標準化，但是缺失第三個維度也就是 z 值，我們需要手動指定 z 值，正如上文所言，z 值表示成像平面距離視點的距離，只是在虛擬相機的 -w 方向的值均可。也就是說，這個值是根據(jù)虛擬相機得到的，所以 P 的坐標現(xiàn)在正處于相機坐標系中。我們就假設其為 1.0 好了，我們不關(guān)心 x, y 兩個分量的值，所以現(xiàn)在 P 的坐標就是 (x, y, 1.0)。
你這時就要問了，為什么是 1.0 而不是 -1.0 呢？問得好，這個 1.0 代表的是視點到成像平面之間的距離。那這豈不是意味著我們的成像平面位于 我們的視點之后了？確實！如果我們的觀察坐標系是右手系的話確實如此，因為在觀察坐標系中相機的坐標始終是 (0, 0, 0)，所以一旦我們指定了 P 的坐標是 (x, y, 1.0)，那么在后續(xù)的變換中就不能使用上面推導的觀察矩陣了，因為我們是在假設它是右手系進行推導的，我們必須使用左手系推導得到的觀察矩陣。這也很簡單，在計算 w 軸的時候不乘以 -1 就好了：
有了觀察矩陣 cam，我們就可以將相機坐標轉(zhuǎn)換為世界坐標了：cam * p(x, y, 1.0)。
如果我們固執(zhí)地要使用右手坐標系推導觀察矩陣，那么 P 的觀察坐標就應該預設為 (x, y, -1.0)。原則就是，成像平面一定要位于視點之前。
至于為什么可以成像，讓我們以一段 RayMarching 的代碼為示例說明?？梢钥吹?，我們最后成像和著色的依據(jù)是 intersection 焦點，只要計算出光線和物體的交點就能夠計算出著色！而這個交點即使物體在成像平面與攝像機之間也是可以計算出來的！我們亦可以用下面這段 shadertoy 代碼調(diào)試上文所說的左右手系問題和視點和成像平面之間的距離問題。
本文到此結(jié)束了，感謝你的閱讀。
