開頭：本人高中生，認為答案2/3，認為第一個紅球摸出已發(fā)生已確定。有點暴躁老哥，話可能會沖，見諒。

評論要求：不許人身攻擊。其他隨意。

題目：三個相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，一個盒子放了紅球和藍球各一個。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，則問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？

各大論壇都被這題炸了。

我本以為知乎和B站水平會比較高，沒想到也是各路牛鬼蛇神齊聚。

對這道題，我認為答案就是2/3。

解釋見下。

1、? “則”字問題

很多2/3和1/2吵來吵去就在吵審題問題。但我認為，這題沒有歧義。

首先“三個相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，一個盒子放了紅球和藍球各一個”，這句話絕對沒有任何問題。

問題在下面一句話。

“隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，則問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

很多人就在這里討論“則”的問題，但我認為，這屬于吹毛求疵。

現(xiàn)在這兒糾正一個誤區(qū)：“2/3的人認為第一個球摸出不是已發(fā)生事件/已確定事件。”

恰恰相反，算出2/3的人絕對認為該事件已發(fā)生，要不然就會選1/3。

好，既然大家都在討論“則”，那我也吹毛求疵一下。

顯然，這個“則”不可能是動詞或者名詞之類。那還剩下以下幾個意思

1、表示因果關(guān)系，就，便：聞過～喜。

2、表示轉(zhuǎn)折，卻：今～不然。

3、表示肯定判斷，乃，是：此～余之罪也。

用肯定代入，“隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，就是問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

用轉(zhuǎn)折代入，“隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，但是問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

用因果代入，“隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，因為問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

？？？？？

看知乎上還有并列的意思、假設(shè)和順承的意思（感謝某1/2黨神助攻），不管怎樣，只有假設(shè)義中用在后面譯作“那么”是讀的通的。

因此，這題等價于“三個相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，一個盒子放了紅球和藍球各一個。如果隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，那么問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

有個屁的區(qū)別！

因此，這題爭論的點不是“則”，因為很簡單，1/2和2/3的人都認為，“則”是表假設(shè)的意思，譯作那么，前面隨機選一個盒子，并且抽出紅球是已知事件、已發(fā)生事件、已確定事件（還認為2/3是因為認為抽出紅球不確定的從頭看起 ）。

既然這題的問題不是“則”，那這題引起爭論的地方是什么呢？

2、 計算過程

經(jīng)過仔細閱讀，我將兩邊的計算過程翻譯一下。

1/2的人我找到了兩種計算。

第一種認為，抽出紅球已經(jīng)確定。題目就是問在抽出紅球的條件下，剩下的球是紅球的概率。顯然，無條件抽中紅球，再抽中紅球的概率等于無條件下抽中紅紅箱子的概率，即為1/3。因為抽中紅球，所以抽中允許盒子的概率為2/3，即排除藍藍盒子，抽中紅紅盒子的概率為1/3。因此按條件概率公式，概率為(1/3)/(2/3)=1/2。

第二種認為，抽出紅球已確定。題目就是問在抽出紅球的條件下，剩下的球是紅球的概率。還剩下兩個盒子，紅紅和紅藍，且概率相等，拿出紅球后，分別剩余紅和藍，兩者概率相等，因此按古典概型，概率為1/2。

2/3的計算應當是下面這種。

抽出紅球已確定。題目就是問在抽出紅球的條件下，剩下的球是紅球的概率。顯然，無條件抽中紅球，再抽中紅球的概率等于無條件下抽中紅紅箱子的概率，即為1/3。第一抽抽中紅球的概率，根據(jù)全概率公式，概率為(1/3)*1+(1/3)*1/2=1/2。因此根據(jù)條件概率公式，概率為(1/3)/(1/2)=2/3。

順帶提一句，請2/3的人在做這題的時候不要簡單地用3/6去計算1/2。因為這種算法容易讓人以為2/3是先選球后選盒子。應當使用全概率公式計算，讓別人知道先選的是箱子。

哦對，有人說本題不符合條件概率公式應用條件。

條件概率公式有什么應用條件？此時不用更待何時？

那么到底是哪一種對呢？我認為是2/3。

加一題：三個相同的盒子，三個盒子里其中一個盒子放了99個紅球，一個盒子放了2個藍球，一個盒子放了紅球和藍球各一個。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，不放回，則問這個盒子里再摸一個球是紅球的概率是？

說答案是99/100的2/3黨出去罰站。

3、?審題問題

誤區(qū)：“2/3的人不審題?！?/p>

2/3黨，現(xiàn)在就是我們反擊的時候！

“三個相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了兩個紅球，一個盒子放兩個藍球，一個盒子放了一個紅球和一個藍球?！边@句話在理解上應當沒有任何歧義。

“隨機選擇一個盒子，再隨機摸出一個球是紅球，則問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”有問題的應當是這一句話。很多1/2的人批評說2/3的人不讀題，則之前的事已經(jīng)發(fā)生，不應計算。

但是在過程中，我們已經(jīng)排除了第一個紅球的概率。就是用除法排除的。

順帶提一句，因為1/3，5/6等牛鬼蛇神的答案極少，我認為大家都認為第一個事已發(fā)生，且是從抽的盒子里取球，球不放回，問剩下那個球是啥色。

現(xiàn)在，一句一句分析。

“隨機選擇一個盒子”即指無條件抽中每個盒子的概率相等，為1/3。也絕對沒有問題。

我認為有問題的應當是這一句話“再隨機摸出一個球是紅球”。1/2認為題中說了是紅球，所以你摸出的一定是紅球。而2/3認為，既然題中說了隨機摸，那么這一步既有可能摸到紅球也有可能摸到藍球，這種摸出藍球應當不計入。

我認為，2/3的有道理。因為題中說“隨機”說明第二步不可能是百分百摸出紅球。

如果題目改一下表述，改成“再隨機摸出一個球，然后發(fā)現(xiàn)該球是紅球”可能會更好，但我認為，原題對于“隨機”和“發(fā)現(xiàn)”的表述已經(jīng)夠好了。因為題目是“再隨機摸出一個球是紅球”，按順序來看，應當是屬于摸球后發(fā)現(xiàn)是紅球，而不是發(fā)現(xiàn)紅球后摸出，否則就是1/2。

如果題目表述是“再摸出一個紅球”，那么這題就真的是歧義了。這么出，出題人被罵死都不為過。

現(xiàn)在給出我認為1/2無歧義表述的題目的答案。

“隨機選擇一個盒子，再看到這個盒子里有一個紅球并摸出/盒子自動彈出一個紅球/別人告訴你這個盒子里有紅球，則問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

區(qū)別是什么？隨機。

1/2的情況，摸出紅球的概率是1，而不是1/2，這就是區(qū)別。

4、??場景設(shè)置

可能還是會有1/2的不服氣。那么我們進行場景設(shè)置。

按題意，我們有三個相同的盒子，每個里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，一個盒子放了紅球和藍球各一個。所有箱子外表一樣，所有球除顏色以外均相同。

“隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，則問這個盒子里另一個球是紅球的概率是？”

現(xiàn)在我們先隨機抽一個盒子，每個盒子等概率。然后再從盒子里隨機抽出一個球，每個球等概率。然后我們發(fā)現(xiàn)這個球是紅球。現(xiàn)在，問這個盒子里剩下的球是紅球的概率是多少。

我覺得，按題意的意思就是這樣。

“不對，按題目意思，第一個球一定是紅球，所以在紅藍盒子里只能摸出紅球，不能摸出藍球?！?/p>

這種理解連“隨機”兩個字都不看了。

我還沒有看到一個1/2場景做到了“隨機”這兩個字

如果還不服氣，請?zhí)^程序部分和極限思想部分，因為這兩個對于解釋2/3沒有任何幫助。

5、程序

不講清題意前，編任何的程序都是在耍流氓。

程序不加注釋，也是在耍流氓。

根據(jù)2/3的題意理解，我進行如下編程。

使用VB編程，因為比較容易懂。（我才不會告訴你們是因為我只會用這個）

好，我們先對盒子中的球進行編號。紅紅盒子1里為紅1紅2，紅藍盒子2里為紅1藍2，藍藍3盒子里為藍1藍2。

“不對。紅紅盒子中紅球和紅球是不可區(qū)分的，所以不能這么編號。”

那拋硬幣問題呢？我們是怎么用列舉法計算出一個正一個反的概率的？也是給兩個硬幣編了一個號。正1正2，正1反2，反1正2，反1反2，從而計算出1/2的概率。但顯然兩個硬幣是不可區(qū)分的。那硬幣可以編號，為什么球不行呢？

“那還不對。為什么紅藍盒子里是紅1藍2，而不是藍1紅2？”

紅1藍2和藍1紅2在概率上沒有任何區(qū)別。如果要這么杠，為什么不說憑什么給紅紅盒子編號1而不是3呢？

結(jié)束編號問題。設(shè)置幾個變量box，ball，red1，red2。

box：盒子編號，隨機取值，范圍｛1，2，3｝

ball：球編號，隨機取值，范圍｛1，2｝

red1：第一次抽出紅球的次數(shù)。當( box = 1 And (ball = 1 Or ball = 2 ) ) Or ( box = 2 And ball = 1 )時red1 = red1 + 1

red2：抽出紅球剩下的是紅球的次數(shù)。當box = 1 And (ball = 1 Or ball = 2 )時，red2 = red2 + 1。

最后輸出red2 / red1，即為本實驗的實驗概率。

代碼見下。

Private Sub Form_Load() '窗體加載

Dim box As Integer, ball As Integer, red1 As Long, red2 As Long '定義變量

red1 = 0 '賦值

red2 = 0 '賦值

For i = 1 To 10000000 '進行10000000次試驗

? box = Int(Rnd() * 3) + 1 '隨機抽取盒子

? ball = Int(Rnd() * 2) + 1 '從盒子中隨機抽球

? If (box = 1 And (ball = 1 Or ball = 2)) Or (box = 2 And ball = 1) Then '第一抽是紅球

??? red1 = red1 + 1 '次數(shù)+1

? End If '結(jié)束判斷

? If box = 1 And (ball = 1 Or ball = 2) Then '第一抽紅球，剩下的也是紅球

??? red2 = red2 + 1 '次數(shù)+1

? End If '結(jié)束判斷

Next i '循環(huán)

Label1.Caption = Str(red1) + Chr(13) + Str(red2) + Chr(13) + Str(red2 / red1) '輸出第一抽紅球次數(shù)，第一抽紅球剩下也是紅球次數(shù)，后者占前者的比例

End Sub '結(jié)束

進行10000000次試驗，第一次抽出紅球4999261，第二次抽出紅球3332669，占比0.666632328258117。非常接近2/3。

但是，由此結(jié)果，我們只能看出在2/3理解的題目條件下，2/3的計算應當是沒有問題的。因為本題的一個問題就是沒有理解題意。1/2的人完全可以按他們的理解寫出一個結(jié)果為1/2的程序。因此，程序?qū)τ谥v清這一道題是沒有任何用處的。（我甚至還看見一個拿1/2答案計算出連摸兩個紅球的概率是1/4并要求程序員改程序的）

哦，順帶一提，想拿這題在現(xiàn)實生活中做實驗的1/2黨們，你們是打不過2/3的，因為在實際生活中無法在隨機的條件下保證在紅藍盒子里摸出紅球。

6、? 極限思維

還有一種思維，就是，極限思想。

我把題目改成“三個相同的盒子里各有1億個球，三個盒子里其中一個盒子放了1億個紅球，一個盒子放了1億個藍球，一個盒子放了紅球1個，藍球99999999個。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，球不放回，則問這個盒子里再摸一個球是紅球的概率是？”

那么顯然紅球出自全紅盒子里的可能性比出自紅藍盒子里的可能性高，因此兩個盒子的概率不是對半開。同理可推知，原題中兩個盒子的概率不可能是對半開，因此1/2不成立。

想法簡單方便，適合表現(xiàn)1/2有問題。但同樣，對于說服他人1/2是錯的幾乎沒有任何幫助。因為1/2的完全可以說，第一個摸出紅球既定事實，摸出紅球概率一定是1，不管怎么極限答案都是1/2。

順帶，我覺得三門問題用極限思維說服別人會比這題用極限思維說服別人容易。

7、? 古典概型

這是我覺得說的比較清楚的一種方式。

“得了吧，用古典概型計算答案就是1/2，原因見下?！?/p>

問題就是，還在把從紅藍盒子里摸出紅球當必然事件！

隨機！隨機！隨機！

我們先把所有情況列出：

由圖得，概率為2/3。

“不對，紅紅盒子為什么紅紅要算兩次？兩個紅紅不可區(qū)分！”

按這個邏輯，兩個硬幣不一樣一正一反概率1/2，兩個硬幣一樣一正一反概率1/3？？？

或者按知乎某人所說，假設(shè)兩個紅球，一個淺紅一個深紅，都算紅球。那么這種情況下，紅紅摸球的兩種情況就不一樣了，分開來列沒有問題。類似拋硬幣，涂色不影響結(jié)果，所以紅紅就是要列兩種情況。

或者也可以這么想，假設(shè)有6個盒子，分左右兩邊。兩個盒子兩邊都是紅色，兩個盒子兩邊都是藍色，一個左邊紅右邊藍，一個右邊紅左邊藍，現(xiàn)在一個盒子左邊紅，問右邊也是紅的概率是多少。

“哪來兩個紅紅盒子！題目里紅紅盒子數(shù)量等于紅藍盒子?！?/p>

行，不用上面那種。就三個盒子，先選盒子，然后隨機從盒子中摸球。如果發(fā)現(xiàn)是紅球，再看剩下的球；如果是藍球，那么本次作廢，重抽。

這樣摸，你會發(fā)現(xiàn)你不僅扔掉了藍藍盒子，還扔掉了一半的紅藍盒子（從紅藍盒子里摸出藍球）。這也就是為什么2/3會說當摸出紅球后，紅紅盒子概率2/3，紅藍盒子概率1/3。

還不信？

8、? 等價表述

來，我們加一個紅藍盒子，并把題目變成“四個相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，兩個盒子放了紅球和藍球各一個。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，則問這個盒子里另一個球是藍球的概率是？”

這道題，1/2黨應當會認為答案是2/3，而2/3黨會認為答案是1/2。計算過程就不給了。

先將這題放一邊，我們看一下下面這題：

??? 現(xiàn)有兩枚正常的硬幣，同時拋擲，然后每只手分別蓋住一枚硬幣?，F(xiàn)在我拿開任意一只手，發(fā)現(xiàn)這枚硬幣正面向上，請問另一枚硬幣反面向上的概率多少？

順帶一提這個UP主的視頻

??? 這題，大家的答案意外地統(tǒng)一，為1/2。(答案就是1/2)

有人說這題也有歧義，如果是條件概率就是2/3（或1/3），如果是獨立概率就是1/2。

不好意思，請重算一下條件概率。

兩個硬幣顯然是獨立的，（如果這理解不了，那我沒什么好說的了）。因此第一個硬幣不影響第二個硬幣。所以第二個硬幣就是1/2的概率?；蛘邨l件概率，隨機移開一只手為正面概率1/2。因為兩事件獨立，移開手正面剩余反面概率1/4。因此條件概率1/2。

“那為什么最開始的摸球問題第一個球和第二個球就不是獨立的？”

別急，先等一下。

如果我們把兩個硬幣所有可能的情況列出來，就是2正、1正1反、1反1正、2反。那我們可以把題目中拋硬幣改成從四個盒子里隨機取盒子，兩個盒子中硬幣1正1反，一個2正，一個2反。把隨機移開一只手改成從抽中的盒子里拿出一個硬幣。經(jīng)過這樣修改后，題目的答案應當還是一樣的。

現(xiàn)在，題目變成“現(xiàn)有四個盒子，兩個盒子中硬幣1正1反，一個2正，一個2反，隨機抽一只盒子?，F(xiàn)在我從該盒子中拿出一枚硬幣，發(fā)現(xiàn)這枚硬幣正面向上，請問另一枚硬幣反面向上的概率多少？”

如果這個認為這個轉(zhuǎn)化會改變答案，請在評論區(qū)中說明理由。

好的，答案1/2。

調(diào)整一下語序和描述，“四個相同盒子里有兩枚硬幣，一個2正，一個2反，兩個盒子中1正1反。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一枚硬幣是正面，則問這個盒子里另一個硬幣是反面的概率是”。答案1/2。

同樣，如果這個認為這個轉(zhuǎn)化會改變答案，請在評論區(qū)中說明理由。

接下來，就是見證奇跡的時刻！

我們把所有正面的硬幣換成紅球，把所有反面的硬幣換成藍球。這樣不會改變概率。

題目變?yōu)椋骸八膫€相同的盒子里各有2個球，三個盒子里其中一個盒子放了2個紅球，一個盒子放了2個藍球，兩個盒子放了紅球和藍球各一個。隨機選擇一個盒子后從中隨機摸出一球是紅球，則問這個盒子里另一個球是藍球的概率是？”

就是本節(jié)最開始的題目！所以2/3的答案有問題。

“不對。不是有男孩女孩題目嗎？一個家庭兩個孩子，已知其中一個是男孩，則求另一個是女孩的概率，為什么那題就是2/3？”

注意題目描述，“已知其中一個是男孩”，就是說，男女家滿足條件的概率是1，而不是0.5。如果我們將題中改為“隨機抽取一個孩子是男孩”，那么答案就是1/2。同樣，如果本節(jié)的摸球問題改為“隨機選擇一個盒子，已知其中有一個紅球”，那么答案也會變?yōu)?/3。

9、? 獨立事件

回到原題。我們看獨立事件的定義是什么：P（AB）=P(A)P(B)，則AB事件獨立。（簡化版，我不想打完整的）

題中兩個事件是A：摸出紅球B：摸出球后剩下的是紅球（注意：B不是“摸出紅球后剩下的是紅球”）

則事件AB為摸出紅球剩下的也是紅球，這個事件的概率與抽中紅紅盒子的概率相等，因此P（AB）=1/3。

根據(jù)全概率公式可以很方便地算出P（A）=1/2 P（B）=1/2。

所以P（AB）不等于P（A）P（B）。所以A、B不獨立。換言之，第一個抽中紅球會影響剩下球是紅球的概率。因此摸出紅球后，紅紅盒子和紅藍盒子的概率不是五五開是成立的。

10、順帶

“如果原題答案是2/3，那么已知抽到紅再抽到藍的概率為2/3。兩者和大于1，推出矛盾，假設(shè)錯誤。因此2/3錯誤?！?/p>

這種評論還是沒有理解兩個盒子在第一次抽出紅球后的概率就已經(jīng)不是55開了。

如果我們順著1/2的思路向下想，能不能推出矛盾？

你們寫吧，我還沒想好。

11、?結(jié)尾

“想那么多干嘛，答案都給了，1/2”

結(jié)論：本題無歧義，摸出紅球已發(fā)生已確定，作為條件，條件概率公式可以使用，答案為2/3。1/2的應當是認為紅藍箱一定出紅球，或者抽出第一個球為紅與剩下的球為紅兩事件獨立。原題答案已經(jīng)更改。