同態(tài)(homomorphism)，就是當(dāng)組G和G'，他們的映射f滿足以下情況：

打個(gè)比方，讓G為一個(gè)可交換群，那么G指向自己的映射就是同態(tài)。

第二個(gè)比方，，就是非0乘法群的同態(tài)。

第三個(gè)比方，，在就是加法群的同態(tài)，其逆映射（對(duì)數(shù)，logarithm）就是一種同態(tài)。

第四個(gè)比方，G是一個(gè)群，a是G的成員，其映射方式為，所有滿足的n，就是這個(gè)同態(tài)的核(kernel)，而e為G的任意成員。

如果f為群同態(tài)，而f的核包含了e自身，那么f是單射。

（論證）讓x和y都是G的成員，假定f(x)=f(y)，那么，

因此，最終x=y，所以論證了f是單射。

單射同態(tài)也叫嵌入(embedding)，其關(guān)系會(huì)以這個(gè)方式來(lái)展示：

f是同構(gòu)(isomorphism)，如果同態(tài)的g(G')=G，使得和分別為G'和G的恒等映射。這關(guān)系會(huì)這樣：

例子五：讓G是一個(gè)可交換群，而映射f

是G對(duì)自己的同構(gòu)。

（論證）我們?cè)O(shè)定一個(gè)逆映射f'，只要證明f'是個(gè)同態(tài)群即可。讓x'和y'是G'的一份子，而x,y為G的一份子，使得f(x)=x'，f(y)=y'，既然f是同態(tài)，那么f(xy)=x'y'。所以f'是同態(tài)。

陪集(cosets)和正規(guī)子群(normal subgroups)

如果S和S'為G的子集，那么SS'是S和S'的積（product），積是滿足結(jié)合律的。

例子1：假設(shè)H是G的子群，讓a是G的元素，x是H的元素，所有ax就是H在G內(nèi)的陪集，也叫aH。

用加法的方式來(lái)呈現(xiàn)的話，就是a+H。

由于G可能不可交換，所以aH是H的左陪集（left coset），反過(guò)來(lái)說(shuō)，我們也有右陪集。不過(guò)一般是，除非額外說(shuō)明，否則一般是陪集指的就是左陪集。

理論：讓aH和bH為H在G內(nèi)的陪集，要么這兩個(gè)是相同的，要么他們沒(méi)有共同元素。

（論證）假設(shè)aH和bH有個(gè)共同元素，我們需要證明他們倆是相同的。讓x和y為H的元素，使得ax=by，既然xH=H=yH，所以

假設(shè)G是有限組，每一個(gè)G里頭的元素x，位于H的陪集內(nèi)，又叫，這樣的話，G就是H所有陪集的并集(union)。