圓錐曲線的定義是：由一個平面截二次曲面得到的曲線，實際上就是把三維降成了二維得到了圓錐曲線。而二次曲面實際上是有相當多的，實際上是由一組三元二次方程

表示的圖形，前6項為二次型(但二次矩陣未必正定，因為順序主子式不一定全正)，下面筆者將一一介紹。

1、圓柱面：

分別表示母線平行于z軸、y軸、x軸的圓柱面，這個很常見，就是我們平時所用的圓柱，上下底面是圓心，側(cè)面展開后為長方形。我們只需要利用一個垂直于母線的平面去截圓柱面，即可得到圓。

2、橢圓柱面：

這里分別表示的是母線平行于z軸、y軸、x軸的橢圓柱面，它與圓柱面的區(qū)別就在于：上下底面由圓變成了橢圓，其余的是一樣的，如此一來，只需要用一個垂直于母線的平面去截橢圓柱面，即可得到橢圓。

3、雙曲柱面：

分別表示母線(兩支雙曲柱面的最低位置所在)平行于z軸、y軸、x軸的雙曲柱面，上下底面由圓變成了雙曲線，其余的是一樣的。只需要用一個垂直于母線的平面去截雙曲柱面，即可得到雙曲線。

4、拋物柱面：

分別表示的是母線(位于拋物柱面最低位置的線)平行于z軸、y軸、x軸的拋物柱面，上下底面由圓變成了雙曲線，其余的是一樣的。只需要用一個垂直于母線的平面去截拋物柱面，即可得到拋物線。

5、球面：

球是對稱的二次平面，所以只有一個方程。

6、橢球面：

同樣是個對稱的二次平面，所以只有一個方程。

7、橢圓拋物面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的橢圓拋物面，由拋物線以橢圓方式繞著它與坐標軸平行的軸旋轉(zhuǎn)而成，下圖為繞z軸形成：

8、圓錐面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的圓錐面，實則是由兩條直線繞著它與坐標軸平行的軸旋轉(zhuǎn)而成。

9、橢圓錐面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的橢圓錐面，實則是由直線以橢圓方式繞著它與坐標軸平行的軸旋轉(zhuǎn)而成，下圖為繞z軸形成。

10、單葉雙曲面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的單葉雙曲面，特點是上下均呈雙曲線形狀，之間有個連通口，且只有一個面，故稱單葉。

11、雙葉雙曲面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的單葉雙曲面，它的特點是上下均呈雙曲線形狀，之間無連通口，有兩個面，故稱雙葉。

12、雙曲拋物面：

分別表示開口方向平行于z軸、y軸、x軸的雙曲拋物面，它由多個不同的雙曲線疊加而成，特點是呈現(xiàn)馬鞍形。

以上就是十二個二次曲面了，實際上還有環(huán)面，但它并不屬于二次曲面：

這是因為環(huán)面方程為：

這個并不是二次型，自然也就不屬于二次曲線。此外，三維方程在大學數(shù)學中被廣泛應用于三重積分和高等代數(shù)，這里我們只是對方程和圖片作簡單介紹來引出下文。話不多說，來進入高中圓錐曲線的正題。

圓錐曲線標準方程

前面我們說過了二維圓錐曲線生成方法，是由三維曲線的截面得到的。而高中圓錐曲線主要是四個，即我們前面各柱面所截的：圓、橢圓、雙曲線、拋物線。

所截出來的面不再受到三維軸z軸的影響，自然不再含有z，也就是說，若二次曲線定義式為：

則降為二維之后可得到標準方程：

但是根據(jù)我們的記憶，應該是不存在xy項的呀？實際上，我們平時所見的圓錐曲線確實是這樣的。如果我們留著項去畫圖，將會得到這樣的圖像：

簡單來說，就是有xy項時，圓錐曲線將會產(chǎn)生一定角度的旋轉(zhuǎn)，考試中把橢圓、雙曲線、拋物線默認全部關(guān)于原坐標軸對稱，也就是默認不會旋轉(zhuǎn)了。