一、牛吃草

抓住存量、草長效率和凈消耗量，三個關鍵數(shù)據(jù)，然后三步走解題。

【例題1】（2020浙江）

火車站售票窗口一開始有若干乘客排隊購票，且之后每分鐘增加排隊購票的乘客人數(shù)相同。從開始辦理購票手續(xù)到?jīng)]有乘客排隊，若開放3個窗口，需耗時90分鐘，若開放5個窗口，則需耗時45分鐘。問如果開放6個窗口，需耗時多少分鐘？

1、白吃牛（草長效率）（本題中為每分鐘增加排隊購票的人數(shù)）

排隊增速=增長差額/時間差=（3×90-5×45）/（90-45）=1（人/分鐘）

這里3×90的含義是，3個窗口在90分鐘的時間內(nèi)，所辦完的整體業(yè)務量，即原有排隊量＋90分鐘增量。

5×45的含義是，5個窗口在45分鐘的時間內(nèi)，所辦完的整體業(yè)務量，即原有排隊量+45分鐘增量。

所以這個“白吃?！保瑢嶋H上就是算出增速，這里的1代表的是，每分鐘增加的排隊人數(shù)，也就是說，我們每分鐘需要一個窗口去為每分鐘增加的排隊人數(shù)辦理業(yè)務，而剩下的窗口用來為原有排隊人數(shù)辦理業(yè)務。

2、原有草（原有存量）（本題中為原來有的排隊人數(shù)）

原有排隊人數(shù)=（3-1）×90=（5-1）×45=180（人）

3、現(xiàn)用時（現(xiàn)在所需耗時）（本題中為開放6個窗口時，辦理完180人所需要的耗時）

耗時=存量/凈消耗量=180/（6-1）=36（分鐘）

我們已知現(xiàn)在開放了6個窗口，其中1個窗口（白吃牛）要用來專門處理每分鐘增加的排隊人數(shù)，即只有5個窗口是負責為原有排隊人數(shù)（原有草）來辦理業(yè)務的。

二、容斥問題

總人數(shù)-圈外人數(shù)=圈內(nèi)總人數(shù)=總人次-重復部分

容斥原理：在先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目減掉，使得計算結果既無重復又無遺漏。

1、兩集合

若把A、B兩個集合分別看做是紅色和藍色兩張大餅，那么純紅、純藍部分都是一層大餅，A∩B（即黃色圓圈部分）就是兩層大餅。那么所謂無重復又無遺漏的情況，圈內(nèi)總人數(shù)（餅的覆蓋面積）=A+B-A∩B，即保障我們所有的圖形范圍都是一層大餅。

【例題2】（2020聯(lián)考）

學校有300個學生選擇參加地理興趣小組、生物興趣小組或者兩個小組同時參加，如果80%的學生參加地理興趣小組，50%學生參加生物興趣小組。問同時參加地理和生物興趣小組的學生人數(shù)是多少？

核心公式：總人數(shù)-圈外人數(shù)=圈內(nèi)總人數(shù)=總人次-重復部分

總人數(shù)-0=圈內(nèi)總人數(shù)=地理興趣小組人數(shù)+生物興趣小組人數(shù)-同時參加地理和生物兩個興趣小組的人數(shù)

總人數(shù)=圈內(nèi)總人數(shù)=A+B-A∩B

300=240+150-X?解得X=90（人）

2、三集合

若我們把A、B、C三個集合分別看作是紅色、藍色、黃色三張大餅，那么A∩B-A∩B∩C（紅色和藍色兩色重疊的部分）就是有兩層餅，同理A∩C-A∩B∩C（紅色和黃色兩色重疊的部分）和B∩C-A∩B∩C（黃色和藍色兩色重疊的部分）也是兩層餅。只有A∩B∩C（即紅色、藍色和黃色三色重疊的部分）是三層餅。

那么所謂無重復又無遺漏的情況就是

圈內(nèi)總人數(shù)（餅的覆蓋面積）=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C，這個公式就代表著所有的區(qū)域都是一層餅。

A∩B黃色線框部分，A∩C是藍色線框部分，B∩C是紅色線框部分，把這三個部分都減掉的話，那么A∩B∩C的三層餅就全部被減掉了，就成了空的了，所以在最后我們要把這個部分的餅再補上一層。

【例題3】（2020新疆）

某單位共有240名員工，其中訂閱A期刊的有125人，訂閱B期刊的有126人，訂閱C期刊的有135人，訂閱A、B期刊的有57人，訂閱A、C期刊的有73人，訂閱3中期刊的有31人，此外，還有17人沒有訂閱者三種期刊中的任何一種。問訂閱B、C期刊的有多少人？

核心公式：總人數(shù)-圈外人數(shù)=圈內(nèi)總人數(shù)=總人次-重復部分

總人數(shù)-17=圈內(nèi)總人數(shù)=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

240-17=圈內(nèi)總人數(shù)=125+126+135-57-73-X+31

?解得X=64

3、多集合

無論是考察多少個部分框在一起，我們就是把握一個原則即可

“總人數(shù)-圈外人數(shù)=圈內(nèi)總人數(shù)=總人次-重復部分”

【例題4】（數(shù)據(jù)隨機寫的，不保證人數(shù)為整數(shù)，主要是體會解題思維）

某次公考培訓班共有40名學生，其中報名言語理解班的有22人，報名判斷推理班的有28人，報名資料分析班的有31名，報名數(shù)量關系班的有25名，其中報三科的人數(shù)與報兩科的人數(shù)相等，比報四科的人數(shù)少3人，請問報一科的有多少人？

根據(jù)公式可列出兩個等式，在此可設報一科有Y人，報兩科有X人

總學生數(shù)=報言語班人數(shù)+報判斷班人數(shù)+報資料班人數(shù)+報數(shù)量班人數(shù)-報兩科人數(shù)-2×報三科人數(shù)-3×報四科人數(shù)……①

?40=22+28+31+25-X-2X-3（X+3）?由此可解出X

總學生數(shù)=報一科人數(shù)+報兩科人數(shù)+報三科人數(shù)+報四科人數(shù)……②

?40=Y+X+X+X+3?代入X，由此可解出Y

這里我們可以借三集合圖形拓展理解一下上面列出的②式

若把A、B、C看成分別報言語、資料、判斷三門功課的學生，那么所有單色部分就是報一科的人數(shù)，所有雙色重疊部分就是報兩科的人數(shù)，所有三色重疊就是報三科的人數(shù)。所以，學生總人數(shù)=報一科人數(shù)+報兩科人數(shù)+報三科人數(shù)?