在化學(xué)考試中，我們常常遇到這樣的計(jì)數(shù)問題：

除了按照化學(xué)老師的方法計(jì)數(shù)之外，其實(shí)我們還有另一條路，那就是利用組合數(shù)學(xué)中常見的環(huán)排列。

線排列

將n個(gè)不同元素排列在一條線上，共有多少排法?答案顯然是n!，即n的全排列。

但這在解決實(shí)際問題中還不夠。若n不是兩兩不同的，這里寫做重集如下：

這表示共有i類（a1,a2...ai），其中第j類有nj個(gè)。這個(gè)結(jié)果我們記作：

證明：考慮總共n個(gè)空位，先在其中放入n1個(gè)a1，放法有C（n,n1），繼續(xù)放n2個(gè)a2，又有C（n-n1,n2）......以此類推，最終共有：

環(huán)排列與

例1.單詞MISSISSIPPI中的字母可以有多少種排列？

答：L{1*M,4*I,4*S,2*P}=11!/1!4!4!2!=34650.

圓排列與環(huán)排列

圓排列，指將n個(gè)元素排列在一個(gè)環(huán)上。與線排列的區(qū)別在于，我們認(rèn)為(1,2,3,4),(4,1,2,3),(3,4,1,2),(2,3,4,1)這種輪換的結(jié)果視作同一個(gè)環(huán)。

其實(shí)通過剛才的例子，已經(jīng)不難看出，環(huán)排列(1,2...n)與其輪換所得n個(gè)線排列的集合一一對(duì)應(yīng)。因此我們說C＝L/n.

但在推廣到一般情況的過程中，我們遇到了麻煩：

例如組合{2*a,2*b}，簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)并不能以此計(jì)算。這是因?yàn)椋海╝,b,a,b）的輪換出現(xiàn)了循環(huán)，只能與2個(gè)線排列的集合{(a,b,a,b),(b,a,b,a)}對(duì)應(yīng)。為了解決此麻煩（所幸實(shí)際計(jì)算中并不常見，當(dāng)所有nj最大公約數(shù)為1時(shí)，你可以放心地沿用這個(gè)簡(jiǎn)單方法），我們需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)討論。以下內(nèi)容需要一定的初等數(shù)論基礎(chǔ)，同學(xué)們也可直接選擇跳過。(在最后的結(jié)論部分，我會(huì)將所有例外情況列出。)

定義：若線排列可以分成完全相同的d段，則稱d是這個(gè)排列的循環(huán)頻率。n/d=t為循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度。

引理1：以d為循環(huán)頻率的線排列個(gè)數(shù)有：

證明：顯然。取一個(gè)循環(huán)節(jié)用線排列公式即得。

引理2：設(shè)gcd(n1,n2...ni)=p,則以d為最大循環(huán)頻率的個(gè)數(shù)有：

證明：用容斥原理。需要排除的元素最大頻率均可寫做qd,其中q整除n/d.因此設(shè)n/d有s個(gè)不同質(zhì)因數(shù)r1,r2...rs.Ak指q中含有因數(shù)rk的元素的集合.那么：

類似地定義圓排列的循環(huán)頻率和循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度。那么循環(huán)節(jié)長(zhǎng)t的圓排列對(duì)應(yīng)著t個(gè)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)t的線排列。

于是就得到了可重圓排列的公式：

例2.有3位紳士，6位小姐環(huán)坐成一圈，一共有多少種排列方式？

解：p=(3,6)=3.所以有兩項(xiàng)，d=1,3.

例3.用3枚綠寶石，6枚藍(lán)寶石串一個(gè)項(xiàng)鏈，一共有多少種排列方式？

本例看起來同例2一樣，其實(shí)有所區(qū)別：項(xiàng)鏈除了旋轉(zhuǎn)之外，還可以翻轉(zhuǎn)。也就是順時(shí)針與逆時(shí)針排列視作是一樣的。這種排列就叫環(huán)排列。我們所研究的苯環(huán)排列正屬此類。

例如，圓排列（1,2,3,4）≠（4,3,2,1），而在環(huán)排列R中它們相等。在不可重集中，R=C/2.

而在可重集中，不難發(fā)現(xiàn)，本身對(duì)稱的圓排列只對(duì)應(yīng)一個(gè)環(huán)排列。設(shè)這樣的圓排列有S個(gè)，R=(C+S)/2.

定理1：當(dāng)ni中有多于兩個(gè)奇數(shù)時(shí)，S=0.

證明：若存在一個(gè)對(duì)稱圓排列，則對(duì)稱軸兩側(cè)的元素完全相同，每一類ai的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)。再考慮軸上：

（1）沒有元素，則所有ni均為偶數(shù)。

（2）有一個(gè)元素as，則ns為奇數(shù)，其余ni為偶數(shù)。

（3）有兩個(gè)元素as,at，或者s=t，所有ni均為偶數(shù)；或者s≠t，ns,nt為奇數(shù)，其余ni為偶數(shù)。

綜上，ni中至多只有兩個(gè)奇數(shù)。命題得證。

接下來再考慮S的具體值。

(1)有兩個(gè)ni為奇數(shù)時(shí)，必然以二者為對(duì)稱軸。取一半圓處理，等價(jià)于剩下元素的線排列。

(2)有一個(gè)ni為奇數(shù)，同理。

(3)所有ni均為偶數(shù)，則或者(i)軸上有兩個(gè)相同元素，或者(ii)沒有元素。應(yīng)該注意這時(shí)S并不等價(jià)于一個(gè)半圓線排列，因?yàn)樾D(zhuǎn)180度將會(huì)得到一個(gè)等價(jià)的對(duì)稱環(huán)排列，但卻會(huì)得到不同的線排列。(而前面不會(huì)有這個(gè)問題，是因?yàn)樾D(zhuǎn)改變了對(duì)稱軸，所得兩個(gè)環(huán)排列也不等價(jià))事實(shí)上，(i)和(ii)各自等價(jià)于那個(gè)環(huán)排列的一半。

上述討論可以用這張圖解來直觀地理解：

因此我們得到：

定理2：當(dāng)ni中的奇數(shù)不多于兩個(gè)時(shí)，

故例3的答案是：

至此我們完全解決了可重環(huán)排列問題?？上部少R！

結(jié)論

對(duì)于重集，當(dāng)gcd(a1,a2,...,ai)=1時(shí)，R=(C+S)/2,C=L/n，利用L和S的公式可計(jì)算R.

例4.苯環(huán){4·H,1·Cl,1·Br}的同分異構(gòu)體有多少種？

答：L=30,C=5,S=1,所以R=3（即常說的鄰間對(duì)三種）

而gcd不為1時(shí)，C的計(jì)算更為復(fù)雜，現(xiàn)將所有特例列舉如下：

{4·H,2·X},C=3,R=3

{2·H,2·X,2·Y},C=16,R=11

{3·H,3·X},C=4,R=3

{6·H}（這還用數(shù)？）,C=1,R=1

我們的有（組）機(jī)（合）化（數(shù)）學(xué)（學(xué)）小課堂就到這里，祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！( ˙?˙ )