二重積分1

2023-07-02 11:33 作者:編程會(huì)一點(diǎn)建模不太懂 0人讀過(guò) | 我要投稿

題目選自2022年考研數(shù)學(xué)一

已知平面區(qū)域

$D%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20%7Cy-2%5Cle%20x%5Cle%20%5Csqrt%7B4-y%5E2%7D%2C0%5Cle%20y%5Cle%202%20%5Cright%5C%7D%20%0A$

計(jì)算二重積分

$I%3D%5Ciint%5Climits_D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-y%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%7D$

因?yàn)榉e分區(qū)域部分存在圓域，故采用極坐標(biāo)法計(jì)算

首先將直線方程和圓方程化為極坐標(biāo)形式

已知

$%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09x%3Dr%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09y%3Dr%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20$

分別代入直線方程 $y-x%3D2$ 和圓方程 $x%5E2%2By%5E2%3D4$ ，得到

直線方程極坐標(biāo)形式 $r%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csin%20%5Ctheta-%5Ccos%5Ctheta%7D$

圓方程極坐標(biāo)形式 $r%3D2$

那么二重積分

$I%3D%5Ciint%5Climits_D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-y%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%7D$

$%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E2%7B%5Cfrac%7Br%5E2%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Br%5E2%7Drdr%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7D%7B%5Cfrac%7Br%5E2%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Br%5E2%7Drdr%7D%0A$

$%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2d%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E2%7Brdr%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7D%7Brdr%7Dd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B2%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5E2%5Ctheta%20%2B%5Csin%20%5E2%5Ctheta%20-2%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20d%5Ctheta%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7Dd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%201-%5Csin%202%5Ctheta%20%5Cright)%20d%5Ctheta%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%5E2d%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cleft(%20%5Ctheta%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccos%202%5Ctheta%20%5Cright)%20%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%2B2%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7Bd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cpi%20-2%0A$

題目分析：本題考察最基本的極坐標(biāo)變換法計(jì)算二重積分，實(shí)際操作中，有不少基礎(chǔ)比較好的同學(xué)采用積分區(qū)域?qū)ΨQ性來(lái)處理，反而掉入命題人所設(shè)計(jì)的坑中，采用對(duì)稱性計(jì)算反而會(huì)增大計(jì)算量。

回過(guò)頭看，題目中除了圓方程和被積函數(shù)中 $x%5E2%2By%5E2$ 等暗示了極坐標(biāo)算外，直線方程 $y-x%3D2$ 也對(duì)應(yīng)了被積函數(shù)中 $(x-y)%5E2$ 這一部分，這里其實(shí)用直線方程的極坐標(biāo)形式處理并不復(fù)雜，反倒是用幾何對(duì)稱處理，將直線 $y-x%3D2$ 沿 $y$ 軸對(duì)稱翻折，得到直線方程 $x%2By%3D2$ 反而加大了計(jì)算難度。