一、矩陣等價和向量組等價的區(qū)別和聯(lián)系

A與B兩個矩陣等價的概念是A能經(jīng)過初等變換（無論行或列，可以既有行又有列）變成B。特別地，如果A只經(jīng)過初等行變換就能變成B，不僅能說明矩陣A和B等價，而且還說明A和B的行向量組等價（即簡稱行等價）；如果A只經(jīng)過初等列變換變成B，不僅說明矩陣A和B等價，而且還說明A和B的列向量組等價（即簡稱列等價）。

A和B的列向量組等價的概念是A和B的列向量組能相互線性表示，其充要條件是AX=B（B的列向量組能由A的列向量組線性表示）和BY=A（A的列向量組能由B的列向量組線性表示）都有解，充要條件還可轉(zhuǎn)化為R(A)=R(B)=R(A,B)。顯然有以下結(jié)論，如果A與B的列向量組或行向量組等價（即A與B列等價或行等價），則必有矩陣A和B等價；如果矩陣A與B等價，則A和B的列向量組和行向量組都未必等價，

如

A=

1 0

0 0

B=

0 0

0 1，

雖然矩陣A和B都是2階矩陣且秩相等（矩陣等價），但A和B的列向量組和行向量組都不等價。

二、秩為1的n階矩陣的常用性質(zhì)

一般結(jié)論: n階矩陣A的秩為1的充要條件是A能寫成一個非零列向量α=(a1,...,an)^T乘一個非零行向量β^T=(b1,...,bn)，即A=αβ^T，α≠O，β≠O。

而對于秩為1的矩陣A有tr(A)=tr(αβ^T)=a1b1+a2b2+...+anbn=[α,β]=[β,α]=α^Tβ=β^Tα

則A?=αβ^Tαβ^T...αβ^T=α(β^Tα)??1β^T=(β^Tα)??1αβ^T=[tr(A)]??1A。

總之，若R(A)=1，則A?=[tr(A)]??1A。