數(shù)可以分為基數(shù)和序數(shù)，所謂基數(shù)就是指表示物體數(shù)量多少的數(shù)，而序數(shù)則是按照一定順序排列下來(lái)的第幾第幾。1，2，3這種有限的數(shù)字既可以作為表示數(shù)量的基數(shù)，也可以作為表示第幾第幾的序數(shù)。在有限的范圍之內(nèi)，基數(shù)與序數(shù)遵循同樣的運(yùn)算規(guī)則。那么現(xiàn)在，讓我們看看面對(duì)無(wú)限的情況時(shí)會(huì)怎么樣？ 按照基數(shù)的定義，它表示集合內(nèi)元素的數(shù)量。要比較兩個(gè)基數(shù)的大小，就要比較這兩個(gè)集合里元素的多少。當(dāng)兩個(gè)集合內(nèi)的元素是有限的時(shí)候，我們可以很自然的比較出它們?cè)氐幕鶖?shù)大小。可是當(dāng)兩個(gè)集合都是無(wú)限的時(shí)候，我們又該如何比較這兩個(gè)基數(shù)的大小呢？ 康托爾告訴了我們一種方法，那就是如果可以找到一種對(duì)應(yīng)方法，使得兩個(gè)集合中的元素可以一一對(duì)應(yīng)，也就是這兩個(gè)集合之間存在雙射，那么這兩個(gè)集合的勢(shì)相同，它們的元素的基數(shù)一樣大。這會(huì)產(chǎn)生一些反直覺(jué)的“悖論”，比如偶數(shù)和整數(shù)一樣多，和自然數(shù)也一樣多。 一般的，我們把自然數(shù)集的基數(shù)寫(xiě)作???， ???是最小的無(wú)窮基數(shù)。對(duì)于 ???而言，我們有 ???+1= ???，這意味著對(duì)于一個(gè)有著無(wú)窮個(gè)元素的集合，向其中再加入一個(gè)元素也并不能改變?cè)摷系膭?shì)。 而對(duì)于序數(shù)而言，情況又有所不同。因?yàn)橄啾扔诨鶖?shù)，序數(shù)多了“順序”這一屬性。既然我們要對(duì)集合中的元素添加“順序”這一屬性，那么我們首先應(yīng)該定義什么是“順序”。從直觀上來(lái)說(shuō)，“順序”就是把集合中的元素按照某種規(guī)則排成一串。但是這樣的定義顯然不夠嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范。看看數(shù)學(xué)家們是怎么定義的：集合中任意的兩個(gè)元素都能按照某種方式比大小，這種比大小的關(guān)系，稱為“序關(guān)系”，經(jīng)常用“≤”符號(hào)表示。這種比大小的關(guān)系還應(yīng)該符合下面的三點(diǎn)： （1）傳遞性：如果a≤b，且b≤c，則a≤c。 （2）完備性：a≤b或者b≤a，不存在無(wú)法比較的情況。 （3）反自反性：如果a≤b且b≤a，則a=b。 上面的這三點(diǎn)是非常自然的，我們熟悉的自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集都符合這些性質(zhì)。對(duì)一個(gè)集合中的元素進(jìn)行比大小的這種操作被稱為“全序關(guān)系”。 但是我們希望能按照元素的大小關(guān)系從小到大開(kāi)始數(shù)數(shù)，因此我們還應(yīng)該對(duì)這個(gè)集合進(jìn)行限制，那就是這個(gè)集合的任意非空子集必須要有一個(gè)最小的元素。當(dāng)某個(gè)集合具有某種全序關(guān)系，且在此全序關(guān)系下其任意非空子集有最小元素時(shí)，我們稱這個(gè)集合為“良序集”?！傲夹颉笨梢詮淖置嫔侠斫饩褪沁@個(gè)集合的性質(zhì)優(yōu)良。比如自然數(shù)集就是一個(gè)良序集，而整數(shù)集不是。 一個(gè)序數(shù)以及小于此序數(shù)的所有序數(shù)應(yīng)當(dāng)可以一一對(duì)應(yīng)于一個(gè)良序集合中的所有元素。很明顯，對(duì)于任意的自然數(shù)n，它都是一個(gè)序數(shù)，因?yàn)閺?到n必然可以構(gòu)成一個(gè)良序集，但是這只是有限集的情況。全體自然數(shù)能否對(duì)應(yīng)一個(gè)序數(shù)呢？當(dāng)然是可以的，我們前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，自然數(shù)集也是一個(gè)良序集。于是我們就這樣得到了第一個(gè)無(wú)窮序數(shù)ω。 現(xiàn)在讓我們考慮一下這件事：怎么在自然數(shù)集中增加一個(gè)元素，從而使得集合對(duì)應(yīng)于一個(gè)比ω更大的序數(shù)？聽(tīng)上去這似乎不可能，但是康托爾做出了這個(gè)不可能的操作：在所有自然數(shù)之后添加一個(gè)元素！之所以要在自然數(shù)的“后面”添加一個(gè)元素，原因在于我們希望得到一個(gè)比自然數(shù)集更大的良序集。 由于我們之前一直在討論集合，而集合之間又恰好有一種比較大小的方法，那就是“子集”這種包含關(guān)系。所以我們可以用集合把序數(shù)表示出來(lái)。最開(kāi)始，很自然的序數(shù)0對(duì)應(yīng)于空集{?}。序數(shù)1就是有一個(gè)元素的集合，即1={0}，序數(shù)2={0,1}，序數(shù)3={0,1,2}......那么自然數(shù)集N對(duì)應(yīng)于哪個(gè)序數(shù)呢？答案是ω?，F(xiàn)在，我們把ω再加入到N中會(huì)怎么樣？我們會(huì)得到{0,1,2,3,4......ω}。這是良序集嗎？稍加分析就可以發(fā)現(xiàn)其中的任意兩個(gè)元素都可以進(jìn)行比較，而且其他所有元素都是ω的子集，ω在排序時(shí)應(yīng)該排在最后，所以我們成功的在所有自然數(shù)的后面添加了一個(gè)元素。{0,1,2,3,......ω}是一個(gè)比N更大的良序集，其所對(duì)應(yīng)的序數(shù)自然應(yīng)該比ω更大，我們可以用ω+1表示。 值得注意的一點(diǎn)是，1+ω≠ω+1，超限序數(shù)的運(yùn)算不滿足交換律，具體原因我下篇文章再講。有了ω+1之后，我們繼續(xù)重復(fù)上面的做法，就可以得到ω+2，ω+3，ω+4......ω+ω=ω×2，ω×3，ω×4......ω2，ω3，ω?......ω^ω，ω^ω^ω，ω^ω^ω^ω……ω^^ω=ε?。 最后，讓我們總結(jié)一下：(1)從空集開(kāi)始，在后面寫(xiě)更多的集合，要求是每一個(gè)集合都以之前所有的集合為其元素。那么這些集合都是有窮序數(shù)。(2)定義一個(gè)序數(shù)，它包含所有有窮的序數(shù)，這個(gè)序數(shù)就叫ω，它是一個(gè)無(wú)窮序數(shù)。(3)定義一個(gè)序數(shù)ε?，它使得ω^ε?=ε?。從ε?開(kāi)始，繼續(xù)上面的操作。(4)所有序數(shù)都是良序集合，且它們之間都有良序關(guān)系。即它們互相之間都有包含關(guān)系，并且最小的序數(shù)就是空集。大數(shù)數(shù)學(xué)中常用序數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢(不是導(dǎo)數(shù))，這個(gè)我下篇文章再講。