在文章的開始，我會先寫明這個荒誕的結(jié)論：

并且我要先說明：這個結(jié)論是錯誤的，至少在正常的認知里是錯的。

但是我們卻可以證明它

首先我們需要兩個預(yù)備的結(jié)論：

第一條：所有奇數(shù)的平方之積與所有偶數(shù)的平方之積比值為2/π

證明如下：

首先先把sinx寫為無限個式子相乘的形式

如果你不太清楚這個式子是怎么來的，你可以看一下這個視頻：

當然這也是證明巴塞爾問題必要的一個式子，但是我們今天的目標不是巴塞爾問題。

現(xiàn)在代入π/2：

我們便得到了這個結(jié)論。

第二條：將ζ(s)解析延拓為關(guān)于η(s)的表達式

ζ函數(shù)的定義域為Re(s)>1，我們可以將ζ函數(shù)解析延拓為關(guān)于η函數(shù)的表達式：

ζ函數(shù)：

η函數(shù)

我們對這兩個式子做如下變換：

很容易得到：

這樣原先定義域為Re(s)>1的ζ函數(shù)定義域就擴大為Re(s)>0了。

證明：

有了這兩個預(yù)備知識，我們現(xiàn)在就可以開始進行證明了。

對于ζ(s)我們可以進一步進行解析延拓，將其延拓為Re(s)≠1.

這看起來很難，但是好在偉大的復(fù)分析之父黎曼已經(jīng)幫我們找到了解析延拓ζ函數(shù)的方法：

它是關(guān)于一條路徑C的復(fù)變函數(shù)積分。

路徑C可以表述為包含0但不包含被積函數(shù)其他奇點的區(qū)域內(nèi)從正無窮到正無窮正向進行

即為

下面為解析延拓ζ函數(shù)的過程（部分步驟從略）

如果你想知道更詳細的過程，可以看以下兩個視頻：

那么現(xiàn)在我們就可以進行下一步了。

在進行下一步之前，我們也可以先把-1代入試試：

根據(jù)留數(shù)定理有：

這就是說：“所有自然數(shù)”的“和”為-1/12，正是曾經(jīng)很火的一個等式。

回歸正題，我們將0代入解析延拓后的ζ函數(shù)，有：

這里我們就求出了ζ(0)=-1/2.

代入η(s):

我們很容易得到η(0)=1/2

題外話，上面結(jié)論似乎表明了：

回歸到ζ函數(shù)與η函數(shù)的關(guān)系：

對于級數(shù)形式的η函數(shù)，應(yīng)用求導(dǎo)法則，以及上面預(yù)備知識第一條，我們可以得到：

對于級數(shù)形式的ζ函數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)法則，我們可以得到：

對于以η函數(shù)表達的ζ函數(shù)形式，應(yīng)用求導(dǎo)法則有：

通過對比以上兩個式子中ζ函數(shù)在0處的導(dǎo)數(shù)值，我們可以得到：

至此，我們也成功證明了所有正整數(shù)之積為根號2π.

結(jié)語：

上面的結(jié)論都是錯誤的，但并不是完全錯誤（在某些地方有意義）。只是在閑暇時嘗試證明出來的東西。

至于全站的話，很多人都在炒作“所有自然數(shù)之和為-1/12”，但是指出這個結(jié)論的人就少了很多，因此就寫了這個專欄。

如有錯誤，請指出（因為我復(fù)變論也并不是很精通，黎曼的論文現(xiàn)在都沒完全看懂）