求導數(shù)的時候，我們習慣于先把函數(shù)的導函數(shù)求出來，然后再把 x 的值代入，得出該點的導數(shù)值。比如

那么x=x0=1點處的導數(shù)值y'就是3。那么，可以認為導數(shù)值就是導函數(shù)在這點的值嗎？

先看導數(shù)定義：

由于 x 可以代表定義域內的任意一點，上圖說明，任意一點的導數(shù)值都是一個極限值，而且，按照上述定義，導數(shù)就是斜率，因為定義中的分子就是下圖的delta y：

再看點 x0 處的導數(shù)值定義：

我們注意到，要求某函數(shù)在點 x0 處的導數(shù)值，首先是要求函數(shù)f(x)在x0的

鄰域內有定義，否則

將無法計算，這也是函數(shù)可導就一定連續(xù)的原因所在。而且，從圖2的定義來看，導數(shù)的分子是函數(shù)f(x)的兩個不同點函數(shù)值之差：

也就是說，要求出某一點的導數(shù)值，我們至少要知道函數(shù)f(x)的兩個不同點的函數(shù)值，這和圖1中的直接代入導函數(shù)的方法有著本質不同。

那么，圖2定義式中的分子在具體計算過程中能不能用兩個具體的函數(shù)值代入進行計算呢？答案是不能。比如：

這里的x0可以用任何數(shù)字代入，比如1，2，3，等等，但我們絕不能以

f(1+0.0000000......1)來代替

進行計算，因為這在理論上是完全錯誤的，當然近似計算是另外一回事。

為什么說上述方法在理論上是完全錯誤的呢？

這是因為

中的delta x是一個無窮小量，而所謂的無窮小，就是比任何一個確定的數(shù)字都小，也就是不能用任何確定的數(shù)字表示，小到只能用delta x這樣的符號表示。

上圖表示的意思就是，點a的坐標在數(shù)軸上可以用一個任意小的確定數(shù)字表示出來，但點x的坐標在數(shù)軸上卻無法用任何一個確定的數(shù)字表示，因此ox之間的這段距離只能用delta x 這樣的符號表示，也就是無窮小。

我們知道，任一點的導數(shù)代表的是這點的斜率，如上圖所示，abc代表一個直角三角形。因為導數(shù)計算出來的是精確的斜率，所以我們假設存在點b同時處于曲線n和切線m上面。假定點a表示 f(x0)，x0可以是任何一個數(shù)字1，2等等，ac之間的長度就是delta x,所以點c的坐標我們無法知道，只能用

這樣的符號表示。正是因為這樣的假設，我們才可以認為點b，也就是f(c)同時也處于點a的切線上面，否則，如果點c的坐標是一個確定的數(shù)字，由于曲線n和切線m的方程不一樣，代入同一個數(shù)字計算出來的結果必然不一樣，點b同時處于曲線n和切線m上面的假設就不成立。由于點c的坐標不能用一個確定的數(shù)字表示，導致點b的數(shù)值也只能用下面的符號表示：

只有上面那樣的假設才能完整解釋導數(shù)的定義。因為如果點b的函數(shù)值可以用一個數(shù)字表示，那就意味著ab之間（曲線線段f(a)與f(c)之間）一定包含著無窮多個其它的有理數(shù)和無理數(shù)點，那這樣求出來的導數(shù)值就是完全錯誤的，因為按照圖1的方法，導數(shù)是為了精確地求出任意一個點的導數(shù)值。所以上文提到的f(1+0.0000000......1)計算方法在理論上是完全錯誤的。

按照導數(shù)定義

點b可以無法用數(shù)字表示，但它一定要存在，也就是它可以用

這樣的符號表示。

經過上面的解釋，我們似乎可以這樣認為：對于某一點的導數(shù)定義

來說，函數(shù) f 可以在除了x0（x0代表一個數(shù)字）這個點以外，在其它任何一個點都可以沒有定義，但卻必須在

處有定義，這個地方不能認為是一個點，因為數(shù)學上的點都對應一個數(shù)字，它只能認為是與x0 的距離已經小到不能用任何數(shù)字表示的一個位置，也就是說，這個位置處于點x0與它的下一個點之間，如圖4所示。與這個位置相對應的函數(shù)值

我們也就不可能知道它的確切數(shù)字，因此它也不是一個點，而是曲線上距離點f(x0)的某個位置。正是我們無法知道它到底是多少才是正確的，否則這個點有確切的函數(shù)值的話，那就不是導數(shù)定義的本意了。按照上面解釋，圖5中的點c和點b都不能認為是一個點，而是直線或者曲線距離a點的某個位置。

那么，為了定義導數(shù)，數(shù)學家們就為我們想象出了下面的這個東西：

這個東西的那段弧長是不能用數(shù)字表示的（包括0，因為它比0大，卻同時比任何一個確定的數(shù)字要小。因此我們不可能知道它到底多長），一定要說多長的話，那就是

的平方加上delta x的平方再開根號：

但這段弧卻必須存在于曲線f(x)上面。因為只有這樣才能保證導數(shù)的定義有意義，也才能保證求出的是x0這個單獨的點的斜率，因為這段弧只包含f(x0)這一個可以用數(shù)字表示的點，不包括第二個端點，更重要的是，這段弧必然同時處于過xo點的曲線和切線上面。于是，我們可以把圖6中的那段弧看作是一把尺子，這把尺子處于曲線上點f(x0)與它的下一個點之間，它能在曲線 f(x)上一個點一個點精確地測量出它們的斜率來。

如果有人一定要問我們無窮小量delta x到底是一個什么數(shù)字時，我們只能告訴他，delta x什么數(shù)字也不是，它就是

，僅此而已。

例如，我們計算導數(shù)的時候：

要計算x=1這個點的斜率，只要代入就行。整個計算過程中，我們都不用知道delta x到底是個什么數(shù)字，但卻可以得出結果，只要最后在允許的情況下把它忽略就可以了。

回到前面的問題上來，某一點的導數(shù)值和這一點的導函數(shù)的值完全是兩碼事，前者代表的是曲線在這一點的斜率，而后者只是一個函數(shù)在某點計算出來的一個數(shù)字。兩者之所以相等，只是因為求極限以后兩者剛好相等罷了：

綜上：

1：導數(shù)是一個極限值，表示某個點的斜率，不是一個函數(shù)值。

2：導數(shù)的定義就是創(chuàng)造了一把尺子，這把尺子同時處于過同一個點的曲線和切線上連續(xù)的兩個點之間。

3：無論直線或者曲線上連續(xù)的兩個點之間的距離多小，這個距離還是能夠放下別的東西。