M =?max(X,Y?) 及?N =?min(X,Y?) 的分布

設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，分布函數(shù)分別為FX?(x)和FY?(y?).求?M =?max (X,?Y?) 及N?= min (X,?Y?)的分布函數(shù).

分析：由于 “M =?max (X,Y?) ≤ z”?等價于“X≤z, Y≤z”，故有

P(M≤z) =?P(X≤z,?Y≤z).

再由X?和Y?相互獨立，得到?M =?max (X,Y) 的分布函數(shù)為:

FM?(z)=P?(M≤z) =?P(X≤z,?Y≤z)

=?P(X≤z)?P(Y≤z) .

即?FM(z) =?FX(z)?FY(z) .

類似地，可得?N =?min (X,Y) 的分布函數(shù)

FN?(z?) =?P(N≤z?) = 1-P?(N>z?)

= 1-P?(X>z,?Y>z)

= 1-?P?(X>z)?P?(Y>z) .

即有?FN(z) = 1-[1-FX?(z)][1-FY?(z)]

=?FX?(z?)+FY?(z)-FX?(z?)FY?(z) .

如圖所示, 系統(tǒng)L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng) L1,L2 聯(lián)接而成, 聯(lián)接方式分別為:

(1) 串聯(lián)；

(2) 并聯(lián)；

(3) 備用(開關(guān)完全可靠，子系統(tǒng) L2在儲備期內(nèi)不失效，當(dāng)L1.損壞時, L2開始工作).

設(shè)L1,L2的壽命分別為X?和Y，概率密度分別為:

其中a>0, b>0, 且a≠b為常數(shù).分別對以上三種聯(lián)接方式寫出系統(tǒng)壽命Z?的概率密度.

解：先求X,?Y?的分布函數(shù)

這里注意邊緣分布和邊緣密度的關(guān)系。