上次說到上/下極限的三種教材中常見的定義方式，這次繼續(xù)來聊上下極限的一個重要定理/性質(zhì)——

其實這是一條性質(zhì)+一條定理啦——

1. 性質(zhì)：數(shù)列{xn}恒有上/下極限；

2. 定理：上下極限相等是數(shù)列收斂的充要條件。

我們從性質(zhì)聊起，上下極限的定義是對稱的，所以書上以上極限為例展開較詳細的證明，分為兩種情形，情形二又細分為兩種情形（排中律的簡單應用）——

情形一：數(shù)列{xn}無上界——

數(shù)列{xn}無上界，即對于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N，xN>E。我們從中可以選出一個無窮大，方法如下——

1. 令xn1=x1；

2. 對n>1，必然存在n2，使得xn2>xn1，否則，對于任意n，xn<=xn1=x1，與數(shù)列無上界矛盾；

3. 以此類推，對n>nk，必然存在nk+1，使得nk+1>nk；

4. 將這個過程無限進行下去，就得到了一個單增無窮大， 其極限為+∞，顯然這就是該數(shù)列的上極限。

情形二：數(shù)列{xn}有上界——

記{xn}的一個上界為M，這里出現(xiàn)了上次定義三中的構(gòu)造數(shù)列，依次先構(gòu)造出一系列數(shù)集——

A1={x1，x2，……，xk，……}；

A2={x2，x3，……，xk，……}；

……

An={xn，xn+1，……，xk，……}；

……

構(gòu)造數(shù)列{Mn}，其中Mn是An的上確界，其極限為{xn}的上極限。

數(shù)列{Mn}顯然具有性質(zhì)：對于任意n，有Mn>=Mn+1，單調(diào)遞減，則這種情形又分為兩種情況——

a.數(shù)列{Mn}是負無窮大——

數(shù)列{Mn}是負無窮大，即對于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N，n>N時，Mn<-E；

由數(shù)列{Mn}定義，對于任意n>N，有xn<=Mn<=MN<-E，即{xn}為負無窮大。

則對于{xn}的任意子列{xnk}，有對于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N，nk>=k>N時，xnk<-E，即{xn}的所有子列都是負無窮大。

b.數(shù)列{Mn}收斂——

即數(shù)列{Mn}有有限極限，即為M*。

討論之前，先要討論M*的兩個性質(zhì)——

1）性質(zhì)一：對于任意ε>0，存在N'，當n>N'，有xn<M*+ε。

可以由{Mn}和{M*}的定義直接導出：

1. M*為數(shù)列{Mn}的極限，即對于任意ε>0，存在N'，有M*-ε<MN'<M*+ε；

2. Mn為上述數(shù)集An的上確界，即對于任意自然數(shù)n>=N'，有xn<=Mn<=MN'；

3. 結(jié)合1、2，對于任意ε>0，存在N'，xn<=MN'?<M*+ε，證畢。

2）性質(zhì)二：對于任意ε>0與給定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

由{Mn}和{M*}的定義：

1. M*為單調(diào)遞減數(shù)列{Mn}的極限，即對于任意自然數(shù)k，有M*<=Mk，否則，存在k0，當n>k0時，有M*>Mk0>=Mn，即取ε0=M*-Mk0，對于任意n>k0，有M*-ε0>=Mn，與M*是{Mn}極限矛盾；

2. 給定k=N，MN為上述數(shù)集AN的上確界，則對于任意ε>0，存在n'>=N，使得xn'>MN-ε>=M*-ε；

3. 綜合1、2，得到對于任意ε>0與給定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

今天先到這里。