-----------------------------------------------------------------------------------------

素?cái)?shù)普遍公式的意義

埃拉托賽尼篩法是一個相對獨(dú)立的實(shí)踐活動，而埃拉托賽尼的素?cái)?shù)普遍公式是一種理論。（實(shí)踐先于理論，實(shí)踐是理論的源泉）。如果實(shí)踐是對的，行之有效的，那么他可以作為論據(jù)支持公式。公式的對與錯，看他是否與方法吻合，（與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)相吻合）。

方法是公式的內(nèi)容，公式是方法的理論。

在理論的內(nèi)容是真的前提下，公式是可靠的，一個公式能夠產(chǎn)生出來，表明具有了相應(yīng)的三大條件：

一，相應(yīng)的觀念和方法已經(jīng)產(chǎn)生；

二，相應(yīng)的實(shí)踐條件和手段已經(jīng)具備；?

三，科學(xué)勞動者能夠正確無誤地進(jìn)行操作。

方法只有借助公式才能獲得確定的含義，方法是構(gòu)成公式的成分。公式是具有一定結(jié)構(gòu)的整體，這是公式自身存在與發(fā)展的前提。公式是一種體系化和邏輯化了的認(rèn)識，而體系化規(guī)范化的方法是公式的靈魂。

理論和公式的意義恰恰不在于他的形式，而在于他形成之后的運(yùn)行。在于他作為某種因素而導(dǎo)出另外的結(jié)果。

公式是方法的收集，方法的反應(yīng)。僅有方法，無法拓展新的實(shí)踐和認(rèn)識，生命力受到局限，只有借助于公式才能向更深層次參透，因?yàn)榉椒ㄊ且粋€層次，他主要是描述性的，例如，埃拉托賽尼篩法是怎樣尋找素?cái)?shù)。而公式是理論認(rèn)識，說明“為什么”，相對來說，他超過了個別。

人以理論的方式，觀念地把握世界，人以“公式”的形式，觀念地把握方法。

就公式產(chǎn)生和存在的意義和使命而言，就是要朝著實(shí)踐方向作認(rèn)識總過程的再認(rèn)識（再次飛躍），以創(chuàng)造還未知的外部世界?？傊?，只有在一切解釋皆真的公式，才能算普效的公式，或者邏輯真的公式。要判定一個公式是否可推演出，即是否可證，這是純形式的問題；要斷言一個公式是否真，必須依賴公式以外的解釋和模型------即這個公式和方法是否可以做等價轉(zhuǎn)換。

下面談?wù)勊財(cái)?shù)普遍公式的一些具體作用：

（一）素?cái)?shù)普遍公式是素?cái)?shù)定理（若N不能被不大于√N(yùn)的任何素?cái)?shù)整除，則N是素?cái)?shù)）和埃拉托賽尼篩法的表現(xiàn)形式，表明在一定條件下和范圍內(nèi)(Pr^2)主觀和客觀上的符合。因而是科學(xué)真理的一種表現(xiàn)形式。素?cái)?shù)普遍公式提供了廣泛的概念框架，并且概括出其中普遍的不變關(guān)系。

（二）素?cái)?shù)普遍公式有助于科學(xué)概念和素?cái)?shù)理論的形成。素?cái)?shù)普遍公式是明確其他科學(xué)概念（例如哥德巴赫猜想）的一種有效手段。將來許多科學(xué)概念的內(nèi)涵都會通過素?cái)?shù)普遍概念公式表現(xiàn)出來，在素?cái)?shù)理論中，素?cái)?shù)普遍公式起著極大的作用，他是核心和靈魂。

（三）素?cái)?shù)普遍公式有解釋和預(yù)見功能，由于素?cái)?shù)普遍公式是從整體上解釋素?cái)?shù)性質(zhì)的，所以常常是演繹推理模型中的大前提（全稱），也是預(yù)見的先行條件。

（四），在數(shù)學(xué)論證中，數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)是用有限駕馭無窮，必須首先找出無窮對象的規(guī)律，用公式概括起來，既正面刻畫后，才能去證明更深刻的問題。

總之，沒有素?cái)?shù)普遍公式，就不能去催促新的思想。例如有些人用復(fù)變函數(shù)把簡單的素?cái)?shù)理論弄的面目全非，違背了事物的真實(shí)性，造成了驚心動魄的場面卻解決不了實(shí)際問題。正如馮。諾伊曼指出的那樣：“當(dāng)一門數(shù)學(xué)離他的源泉越遠(yuǎn)，他就變的愈加?jì)扇嵩熳?。歐幾里德是第一個提出素?cái)?shù)普遍公式的人，為此，人類這一步卻跨越了兩千年，這是值得深思的。希爾伯特對數(shù)學(xué)成果的評價，那些能把過去統(tǒng)一起來而同時又為未來的拓展開辟了廣闊的道路的概念和方法，應(yīng)該算是最為深刻的概念和方法。素?cái)?shù)普遍公式就是一種承上啟下，繼往開來的思想。

素?cái)?shù)普遍公式

（清華大學(xué)出版社【品數(shù)學(xué)】第5頁） 西元前250年同樣是古希臘的數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼提出一種篩法：

（一），“要得到不大于某個自然數(shù)N的所有素?cái)?shù)，只要在2---N中將不大于√N(yùn)的素?cái)?shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。

（二），“如果自然數(shù)N是合數(shù)，則它有一個因子d滿足1<d≤√N(yùn).。

（三），如果自然數(shù)N是素?cái)?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)N不能被不大于√N(yùn)的任何素?cái)?shù)整除”。

見（代數(shù)學(xué)辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。

（四），對于（三）這句話的漢字可以等價轉(zhuǎn)換成為用英文字母表達(dá)的公式：

公式形式： N=P?M?+A?=P?M?+A?=.....=Pr Mr +Ar ......(1)。

（小寫字母“r”表示腳標(biāo) ） 其中P?，P?，....，Pr 表示順序素?cái)?shù) 2，3，5，......。Ai≠0。

這樣解得的N，若N＜P2r+?，則N是一個素?cái)?shù)。 我們可以把（1）式內(nèi)容等價轉(zhuǎn)換同余式組表示：

N≡A?(modP?)，N≡A?(modP?)，.....N≡Ar(modPr)。。。。.（2）

由于（2）的模P?，P?，，.，Pr 都是素?cái)?shù)，因此兩兩互素，根據(jù)孫子定理(中國剩余定理）知，對于給定的A?，A?，，，Ar，（2）式在P?P?....Pr范圍內(nèi)有唯一解。

范例

例如，r=1，N=2M?+1,解得N=3,5,7。7﹤32=9，求得了（3,32）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

r=2，

N=2M?+1=3M?+1,解得N=7,13,19;

N=2M?+1=3M?+2,解得N=5,11,17,23.

求得了（5,52）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

仿此下去，可以一個不漏地求得任意大的全部素?cái)?shù)。

人類為了尋找這個公式，花費(fèi)了2000多年。所以數(shù)學(xué)大師希爾伯特是1900年國際數(shù)學(xué)家大會上說，如果有了可以構(gòu)造一切素?cái)?shù)的公式，哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想等就可以解決了。

怎樣使得兩個自然數(shù)相加和相減都成為素?cái)?shù)--將哥德巴赫猜想轉(zhuǎn)換成為初等數(shù)論范圍

（從臺爾曼公式談起【中等數(shù)學(xué)】2002年5期）

即 S+X 成為素?cái)?shù)，S-X 也是素?cái)?shù)。

根據(jù)除法算式定理：“給定正整數(shù)a和b，b≠0，存在唯一整數(shù)q和r（0≤r＜b），使a=bq+r”。 再根據(jù)同余定理：“每一整數(shù)恰與0,1,2,3，。.，m-1中一數(shù)同余（mod m）”。、所以，任給一個自然數(shù)S(S >4)，都可以唯一表示成為：

S=P?M?+C?=P?M?+C?=。。.=Pr Mr + Cr。。(3)

其中 P?，P?，.Pr，.表示前面r個順序素?cái)?shù) 2，3，5，....。

Ci=0，1，2，...,.Pr—1，

P2r /2 < S ＜ P2r+?

現(xiàn)在問，是否存在X,

X=P?H?+D?=P?H?+D?=......=Pr Hr +Dr .(4)

其中：Di≠Ci ； Di≠Pi - Ci。,

如果X ＜S-2，則S+X與S-X都是素?cái)?shù)。

范例：

設(shè)S=20，

20=2M?+0=3M?+2=5 M? + 0

52/2 < 20 <72/2 (即25/2﹤20﹤49/2)

20的 C?=0；C?=2,；C?=0。

構(gòu)造X并且有4個解：

X=2H?+1=3H?+0=5H?+1=21.;

X=2H?+1=3H?+0=5H?+2=27;

X=2H?+1=3H?+0=5H?+3=3;

X=2H?+1=3H?+0=5H?+4=9.

四個解是：21，27，3，9。小于S-2的X有3和9，我們得知，20+3與20-3是一對素?cái)?shù)；20+9與20-9是一對素?cái)?shù)。 這就是利用素?cái)?shù)判定法則：最小剩余不為零，并且 S+X＜P2r+?,， 則S+X與S-X是一對素?cái)?shù)。

推論：

因?yàn)椋⊿+X）+（S-X）=2S。這就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我們需要證明(3)和（4）式必然有小于P2r / 2的解，就證明了哥德巴赫猜想。

孫子定理和埃拉托斯特尼篩法形成的公式已經(jīng)為哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把問題轉(zhuǎn)入到初等數(shù)論范圍。盡管我們現(xiàn)在還不能證明它，但是，我們已經(jīng)把轉(zhuǎn)入初等數(shù)論范圍。

詳見百度百科【素?cái)?shù)普遍公式】【臺爾曼公式】【孿生素?cái)?shù)公式】等

修改?分享?獻(xiàn)花（0）