在歐幾里得的《幾何原本》中，有一條明顯與眾不同的公理，即第五公設(shè)，現(xiàn)代稱為平行公設(shè)：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內(nèi)角和小于兩直角和的一側(cè)相交。要“證明”它，人們發(fā)現(xiàn)連直線本身的定義就有瑕疵，在耗費(fèi)了數(shù)學(xué)家近兩千年的時(shí)間后，關(guān)于直線、空間等基礎(chǔ)的概念徹底發(fā)生了變化，我們徹底打開了一個(gè)新世界——非歐幾何，這正是這條復(fù)雜公理里蘊(yùn)藏的智慧。這篇文章將介紹一些關(guān)于探索第五公設(shè)的早期歷史，我們可以看到幾何學(xué)的深刻從此展露出來。

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《尖叫的數(shù)學(xué)：令人驚嘆的數(shù)學(xué)之美》（湖南科學(xué)技術(shù)出版社）第六章《非歐幾何的世界》。

撰文丨翁貝托·博塔茲尼（Umberto Bottazini）

翻譯丨余婷婷

1919年11月7日，倫敦《泰晤士報(bào)》中有一篇報(bào)道，其標(biāo)題為“科學(xué)的革命，宇宙新理論，牛頓的思想被徹底推翻”。到底發(fā)生了什么具有重大變革性的事？同年5月，天文學(xué)家亞瑟·愛丁頓（Sir Arthur Stanley Eddington，1882-1944）和弗蘭克·戴森（Frank Watson Dyson，1868—1938，他為證明愛因斯坦的廣義相對論起了重要的作用）分別前往幾內(nèi)亞的一個(gè)海島和巴西，觀測了日全食現(xiàn)象，11月6日，在一場注定會被歷史銘記的皇家學(xué)會會議上，他們交流了觀測結(jié)果，而觀測結(jié)果證實(shí)了廣義相對論的預(yù)言：太陽的質(zhì)量使光線在空中發(fā)生了偏折。全世界的新聞媒體接二連三地轉(zhuǎn)發(fā)這則新聞，愛因斯坦一夜成名?！笆澜鐨v史上的一個(gè)新偉人！”某個(gè)柏林報(bào)刊在愛因斯坦的照片下配上了這樣的文字?！短┪钍繄?bào)》援引皇家學(xué)會主席的話，寫道：1846年海王星的發(fā)現(xiàn)強(qiáng)有力地證實(shí)了牛頓定律和歐氏幾何的正確性，而廣義相對論是繼發(fā)現(xiàn)海王星之后最重大的事件。

如今，“關(guān)于宇宙這個(gè)大工廠的科學(xué)觀點(diǎn)應(yīng)該做出改變了”，以和“人類思想最重要的表述，或者說最重要的表述之一”——相對論達(dá)成一致。愛丁頓認(rèn)為相對論是“展現(xiàn)數(shù)學(xué)推理力量最好的例證之一”。一個(gè)天才數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)中期的一個(gè)宿命時(shí)刻預(yù)測的空間觀，引發(fā)了一場激動人心的變革的高潮，在兩千年后，先于牛頓推翻了唯一的歐氏幾何理論，解放了幾何學(xué)家，打開了他們創(chuàng)造性的想象。

什么是直線？

這個(gè)“宇宙工廠”不再遵循歐氏幾何理論了？空間幾何也不再是歐幾里得給我們解釋的那個(gè)空間幾何嗎？光線的軌跡也不是直線的？怎么可能呢？如果你們感到難以置信，這是很正常的，因?yàn)槟銈兊纳罱?jīng)驗(yàn)告訴你們的恰恰是空間遵循歐幾里得定理、光線沿著直線傳播。但什么是空間呢？等會兒我們聽聽康德是如何定義它的。在嘗試定義空間之前，你們要知道，連歐幾里得都沒有做過這件事。歐幾里得在《幾何原本》中研究了立體的特性，但是并沒有給出空間的定義。他只是說立體是“一個(gè)有寬度、長度和深度的東西”，也就是說它有三個(gè)維度。最初幾條定理講的是相交于一條直線的幾個(gè)平面，或者平面上的一條垂線，等等，從這些定理中，我們可以憑直覺領(lǐng)悟出空間指的是什么。那什么是直線呢？這提的什么問題呀！直線是什么，我們所有人都以為自己在學(xué)校里已經(jīng)學(xué)過了。這沒錯(cuò)。

那你們自己試著去定義它吧。某個(gè)直的（或者說，不是彎的）東西，如果你們給出的定義跟這個(gè)差不多，那就不必說了。你們也許會為自己辯解，說自己不是數(shù)學(xué)家。那你們能夠聊以自慰的就是，這個(gè)難題也同樣困擾了數(shù)學(xué)家們幾百年。數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的一種情況就是，那些看似最明顯和熟悉的概念，反而最難給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。杰出的百科全書式學(xué)者和數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾寫了一句很有名的話。他在1795年寫道：“直線的定義和特性，如同平行線的定義和特性，這么說吧，是幾何原理中的障礙和家丑?！敝劣趩?！當(dāng)然了，因?yàn)檎麄€(gè)歐氏幾何都建立在這些定義和特性上。難怪在達(dá)朗貝爾眼里，給直線和平行線下定義的事成了一件丑聞。

達(dá)朗貝爾補(bǔ)充說，直線的普通定義就是兩點(diǎn)之間最短的線。如果你們想一想，或許會贊同他給出的定義。這位法國學(xué)者接著說，可這個(gè)定義看起來更像是直線的特性而不是原始概念。你怎么知道它是最短的那條呢？誰說從一點(diǎn)到另一點(diǎn)只有一條最短的路徑呢？我們之所以贊同這個(gè)直線的概念，只是因?yàn)樗[含了這個(gè)事實(shí)。如果我們無法對直線下一個(gè)令人滿意的定義，那我們也不可能給出平行線的定義。達(dá)朗貝爾的提示似乎為我們指明了道路，他說：一條直線的平行線是位于直線同一側(cè)且距離直線相等的兩個(gè)點(diǎn)所連成的線，與該直線位于同一平面。未經(jīng)論證而設(shè)定它是真的，就是設(shè)定某樣定義之外的東西。又回到了原點(diǎn)，我們?nèi)栽谟懻摼嚯x的概念。達(dá)朗貝爾總結(jié)說，總之，“平行線理論是幾何原理中最不易跨越的難點(diǎn)之一”。

麻煩的“第五公設(shè)”

從大約公元前300年起，無數(shù)幾何學(xué)家嘔心瀝血，嘗試解決這個(gè)難題。歐幾里得在《幾何原本》中確立了幾何準(zhǔn)則。在他給出的定義中，“直線是與其重合的每一個(gè)點(diǎn)所連成的線”。你們也許會覺得這個(gè)定義不是很清晰。他不該遺漏直線是兩點(diǎn)間距離最短的線，但只有阿基米德明確設(shè)定了這一點(diǎn)。至于平行線，歐幾里得認(rèn)為，它們是位于同一平面，兩端無限延長卻永不相交的直線。

《幾何原本》中的前三條公設(shè)（在任意相異兩點(diǎn)之間能作且只能作一直線；直線兩端可任意延長；給定任意圓心和半徑可以作圓）確保了構(gòu)造基礎(chǔ)幾何圖形的可能性。第四公設(shè)為所有直角都彼此相等。而第五公設(shè)，即所謂的平行公設(shè)，第一眼看上去很是與眾不同：同一平面內(nèi)的兩條直線與第三條直線相交，若其中一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角和，則該兩直線無限延長后必在這一側(cè)相交。你們在紙上作個(gè)圖，就會一目了然了。然而，你們可能會認(rèn)為這條公設(shè)根本不是那么顯而易見，在概念上比起前四條，無論如何都要復(fù)雜得多。達(dá)朗貝爾口中“幾何的障礙和家丑”，說的就是這條公設(shè)?？伤陵P(guān)重要，因?yàn)檎叫蔚臉?gòu)建、畢達(dá)哥拉斯定理的證明以及由它推演出的其他所有定理，都以這條公設(shè)為基礎(chǔ)。

公元5世紀(jì)，普羅克洛在為《幾何原本》撰寫的《評注》中說，很早之前就有學(xué)者認(rèn)為，通過其他四條公設(shè)，可能再加上一條比歐幾里得公設(shè)更簡單易懂的新假設(shè)，就能證明第五公設(shè)。接下來的數(shù)個(gè)世紀(jì)，眾多數(shù)學(xué)家都向歐幾里得公設(shè)發(fā)起了挑戰(zhàn)，可他們絞盡腦汁也無法給出證明。

在他們之中，有人認(rèn)為平行線的概念直觀易懂，有人認(rèn)為要運(yùn)用圖形的相似性，還有人想用普羅克洛提出的新公理代替第五公設(shè)，即“過直線外一點(diǎn)無法作出兩條與已知直線平行且不重合的直線”。你們或許在課本里學(xué)到了它的等價(jià)公理：“在平面上，過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線平行”?？赡銈?nèi)绻屑?xì)想想，就會發(fā)現(xiàn)普萊費(fèi)爾（John Playfair，1748-1819），在18世紀(jì)末提出的這條公設(shè)比歐幾里得的平行公設(shè)還要復(fù)雜。它們倆是對等的，意思就是說從第五公設(shè)可以推導(dǎo)出普萊費(fèi)爾的公設(shè)，反之亦然。從波斯數(shù)學(xué)家歐瑪爾·海亞姆（Omar Khayyam，1048-1122）和納西爾丁·圖西（Nasir al-Din al-Tusi，1201-1274），到17世紀(jì)末的約翰·沃利斯（John Wallis，1616-1703），再到18世紀(jì)末的阿德里安-馬里·勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833），許多歐氏幾何的“改良者”所提出的公理假設(shè)都存在這個(gè)問題。

還有學(xué)者試圖使用反證法證明第五公設(shè)，比如耶穌會士吉羅拉莫·薩凱里（Girolamo Saccheri，1667-1733）。反證法是一種論證方式，如果從論題A的反論題可以推演出A，那么論題A為真。薩凱里說：“這似乎是所有真理的首要特點(diǎn)，從假設(shè)真理的反面為真，通過令人驚嘆的反駁和推論，最終又回到了真理本身?！彼_凱里在《免除所有污點(diǎn)的歐幾里得幾何》（1733年）一書中研究了一個(gè)帶有雙直角的等腰四邊形，即∠A和∠B為直角，AD=BC。

那∠C和∠D怎么樣呢？首先一目了然的是它們的大小相等。此時(shí)，你們或許會想到三種可能性：∠C和∠D都是直角，或者都是鈍角，又或者都是銳角。其中的每一種可能（薩凱里把它們叫作假設(shè)），都具有普適性，就是說如果它適用于某一個(gè)雙直角的等腰四邊形，那么它對其他所有雙直角的等腰四邊形都成立。

關(guān)于直角的假設(shè)就是歐幾里得所說的公設(shè)，ABCD是一個(gè)長方形，自然滿足第五公設(shè)。運(yùn)用反證法，薩凱里證明了“鈍角的假設(shè)是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗鼤茐膱D形本身”。還剩下銳角這個(gè)“敵對假設(shè)”，只有它還違背歐幾里得的公設(shè)。為了打敗它，薩凱里投入了一場“長久的戰(zhàn)役”，寫滿了一頁又一頁晦澀難懂的推論，最終得出了結(jié)論——那個(gè)假設(shè)“是完全錯(cuò)誤的，因?yàn)樗c直線性質(zhì)相矛盾”。你們看見了嗎？我們回到了起點(diǎn)：又一次涉及直線的“性質(zhì)”。這個(gè)“性質(zhì)”是什么呢？那個(gè)假設(shè)所導(dǎo)出的結(jié)論，與人們看到直線時(shí)的最初感受相矛盾，薩凱里難道不是在避免承認(rèn)這點(diǎn)嗎？

在這場“戰(zhàn)役”中，薩凱里闡明和論證了一堆令人意想不到的新定理，因此有后人稱他為非歐幾何的“先驅(qū)者”。但薩凱里并不是另一個(gè)哥倫布。哥倫布本要尋找去往印度的新航線，卻發(fā)現(xiàn)了新大陸，而薩凱里卻堅(jiān)信自己成功制服了銳角這個(gè)“敵對假設(shè)”，肯定自己抵達(dá)的地方就是“印度”。因此，保爾·瓦雷里（Paul Valéry，1871-1945，法國作家、詩人）對“這個(gè)薩凱里”所表現(xiàn)的帶有諷刺意味的驚訝就顯得不太恰當(dāng)了：“薩凱里為未來一種大膽創(chuàng)新的幾何學(xué)稍稍推開了大門，卻不承認(rèn)”，因?yàn)槭聦?shí)上“他就是一個(gè)完全的耶穌會士”?？伤_凱里在命題上并不是“耶穌會式”的，反而對歐氏幾何有一種“托勒密式”的信仰。無論如何，盡管薩凱里十分確信自己的論證，可他并沒有為歐氏幾何去除任何污點(diǎn)。如果說第五公設(shè)是歐幾里得空間科學(xué)這件衣服上的污漬，那么這塊污漬依然存在。然而，用伊姆雷·托特 的一個(gè)恰當(dāng)說法來說，應(yīng)該是這位耶穌會士的努力使“幾何學(xué)變得不再單純”。令人反感的使幾何變得不再單純的第五公設(shè)被公開闡明并得到全世界的認(rèn)知，還要等待一個(gè)多世紀(jì)。

不止三維

身在哥廷根的克呂格爾（Georg Simon Klügel，1739-1812）認(rèn)真研讀了薩凱里的研究成果。1763年，他還在論文中討論了薩凱里的研究。那他得出的結(jié)論是什么呢？“就目前而言”，面對他這樣的“純粹真理的捍衛(wèi)者”，我們至少可以說“沒有哪個(gè)頭腦健康的人會否定歐幾里得公設(shè)”。沒錯(cuò)，就目前而言。受克呂格爾的論文啟發(fā)，朗伯沿著薩凱里的足跡出版了《論平行》（1776年）。這個(gè)朗伯就是那個(gè)證明了π是無理數(shù)的朗伯。數(shù)學(xué)家用弧度表示角的大小，而數(shù)字π還表示平角的度數(shù)，即180°。和薩凱里一樣，朗伯也試圖證明銳角的假設(shè)不成立卻終告失敗，這次他構(gòu)想了一個(gè)有三個(gè)直角的四邊形，論證的是第四個(gè)角。

在討論鈍角的情況時(shí)，朗伯從球面三角學(xué)中得到啟發(fā)，猜測長度的絕對度量的所有可能性。球面上，由三條大圓的弧所包圍的區(qū)域稱為球面三角形。球面三角形不存在相似性，也就是說相似的球面三角形彼此完全相同。球面三角形的三個(gè)內(nèi)角α、β、γ的和大于180°，即大于π；三角形的面積由公式R2(α+β+γ-π)可得，R為球的半徑。長久以來，這兩點(diǎn)眾所周知。那銳角假設(shè)的情況如何呢？這次內(nèi)角和不再“過量”，反而“不足”，小于π，面積公式為r2[π-(α+β+γ)]，r為常數(shù)?！坝纱?，我?guī)缀蹩梢缘贸鼋Y(jié)論：這個(gè)假設(shè)存在于某個(gè)虛半徑球體上?！崩什畮е┰S猶豫，終于大膽地說出了自己的想法。的確，如果R=

，球面三角形面積公式R2(α+β+γ-π)就會變成

=r2[π-(α+β+γ)]。

無論如何，謹(jǐn)慎的朗伯決定不出版他的這本著作，直到他逝世以后的1786年，這本書才問世。和薩凱里的結(jié)論一樣，朗伯的結(jié)論也和普通的空間概念相矛盾。朗伯與康德保持著密切的書信交流，我們可以在康德那里找到關(guān)于空間的表述。這位來自柯尼斯堡的哲學(xué)家在《純粹理性批判》（1781年）一書中判定：“空間并不是從外部經(jīng)驗(yàn)之中抽引出來的經(jīng)驗(yàn)性概念。”“它作為一切外部直觀的基礎(chǔ)，是一種必然的先天表象?！薄八袔缀卧淼臒o可置疑的確定性”就建立在這種先天必然性上。不必多想，康德口中的這個(gè)幾何，自然是歐氏幾何。

一百年后，關(guān)于空間的概念依舊沒有改變。陀思妥耶夫斯基筆下，伊萬·卡拉馬佐夫在與弟弟阿遼沙的一段漫長交談中說：“假如上帝存在，而且的確是他創(chuàng)造了世界，那么正如我們所知，上帝是按照歐氏幾何創(chuàng)造的世界，還創(chuàng)造了只有三維空間概念的人類頭腦?！笨蓮墓艜r(shí)起，人們就知道球面幾何并沒有違背歐氏幾何的公理，朗伯的闡釋也說明了這一點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，非歐幾何的消息應(yīng)該也傳到了圣彼得堡，因?yàn)橐寥f接著說：“但是以前有過，甚至現(xiàn)在還有一些幾何學(xué)家和哲學(xué)家，其中不乏最出色的學(xué)者，他們懷疑整個(gè)世界，或者說得更大一些，整個(gè)宇宙是否真的只是依照歐氏幾何創(chuàng)造的。他們甚至還質(zhì)疑平行公設(shè)，大膽猜想：歐幾里得認(rèn)為永不相交的兩條平行線，它們事實(shí)上可以在無限延長之后，相交于某點(diǎn)。”伊萬陷入了困惑。最后這種定義平行線的方式，司湯達(dá)筆下的亨利·勃呂拉曾在一本“陳舊的教理問答手冊”中學(xué)過，但與處于爭議之中的著名的第五公設(shè)毫無關(guān)系。