提要：

1小學數(shù)學科學的唯一核心課題是自然數(shù)。

2一個孩子的識數(shù)過程需要在數(shù)年時間中走完人類識數(shù)的漫長道路，這絕不可能是一個簡單容易的任務(wù)。

3扳著手指數(shù)數(shù)具有超越多對象處理本能的重要意義。

4一個好的數(shù)學教育者應(yīng)該知道，加法的原始意義是兩個有限集的無交并的勢。

5一個好的數(shù)學教育者應(yīng)該明白，自然數(shù)集就是滿足皮亞諾公理的集合，而且應(yīng)該理解自然數(shù)集的無限性，這是人對于無窮的第一個科學認識。

6 數(shù)學教育應(yīng)按數(shù)學發(fā)展史順序進行，而不是按邏輯基礎(chǔ)來進行。

撰文 | 姜樹生

小學數(shù)學應(yīng)該學什么？這本來不是個問題，但近年來小學數(shù)學課程變化相當大，增加了很多內(nèi)容且都是必修的，以致“減負”完全成了官腔；而小學數(shù)學原有的一些內(nèi)容被弱化。在此背景下，“小學數(shù)學應(yīng)該學什么”成了很多人討論和爭議的問題。

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先打個預(yù)防針

關(guān)于這個問題，常見的意見非常多，預(yù)期本文也會受到很多反駁。其實本文中的很多看法并非像數(shù)學那樣嚴謹?shù)目茖W道理，反駁的意見可能更高明。但建議認真的讀者帶著批判的眼光有選擇地看，至少下面幾種用不著看：

1）生搬教條的

在文獻中有很多涉及數(shù)學教育的觀點，如“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”，“數(shù)學是對客觀現(xiàn)象抽象概括而形成的科學語言與工具”等等，這些觀點雖然不無道理但并不是嚴謹?shù)目茖W定律。還有很多教學方法如“探索性學習”、“項目式學習”、“螺旋式上升”等等，也是不無道理但尚在嘗試。

但生搬教條者會把這些當成“圣旨”，每條都比數(shù)學更正確。這些人都是“政治掛帥”的，要求數(shù)學教育服從這些理論的指導(dǎo)，為此可以把數(shù)學教程改得一塌糊涂，但他們絕不會認錯的。

建議您把“政治正確”留給他們，您只要數(shù)學正確就可以了。

2）采用無定義術(shù)語的

這些人圍繞著一些沒有定義的術(shù)語討論不休，這樣的術(shù)語很多，如：

• 素質(zhì)教育：對這個術(shù)語不僅沒有社會共識，也沒有權(quán)威的解釋，甚至沒有官方定義。

• 高分低能：例如說有的學生考分高但不會換燈泡，但考試沒有換燈泡這一項，如果加上這一項如何呢？

• 應(yīng)試教育：是否有考試的教育就是“應(yīng)試教育”？這樣的討論常常導(dǎo)致取消考試的主張。

• 教育公平：我們只能說公民有平等的受教育的權(quán)利。但教育本身如何“公平”？有些人說這話的意思是“憑什么你能上北大清華我就不能？”

• 減負：學生負擔過重需要減輕，但需要先厘清什么是過重。如果象商家先漲價再打折那樣，先加重負擔再減輕一些有意義嗎？不是說笑話，這樣的例子很多。例如先把上課時間提早半小時然后再改為晚半小時，或者取消給學生打分改為貼小紅旗小紅花等等。很多教科書就是在“減負”的名義下越改越厚的（參看 [6]）。

• 奧數(shù)：這個詞來源于國際數(shù)學奧林匹克（IMO），但現(xiàn)在絕大多數(shù)人所說的“奧數(shù)”與 IMO 毫無關(guān)系，只是打著這個旗號搞培訓或競賽等，準確地應(yīng)該稱為“偽奧數(shù)”。

數(shù)學有很多學科，即使在中學數(shù)學教程中也有代數(shù)、平面幾何、三角、立體幾何、解析幾何等多個學科，但沒有一個“奧數(shù)”學科。一個家長把孩子送入“奧數(shù)班”之前，至少應(yīng)該看看“奧數(shù)”教程講的是什么，有什么學術(shù)依據(jù)和標準，有什么意義和用處?？上Т蠖鄶?shù)這樣的家長很官僚主義。

對每個無定義術(shù)語，都是各人有各人的理解，各唱各的調(diào)，甚至成了“定義之爭”。因此以這類無定義術(shù)語為題的討論都是純粹浪費時間。

3） “不假思索”的

這些人說話很多很快但不走腦子，例如說“數(shù)學是枯燥的、深奧的、抽象的”，或者“數(shù)學是存在于天上的純粹理型”，或者“數(shù)只是人腦子里的東西”等等。很多說法是人云亦云。但如果深究，他們自己都不知道自己說的是什么意思。

4） 妄議數(shù)學的

這些人對于數(shù)學的了解范圍很窄也很膚淺，而且都是很早期的（最新也是二百多年前的），但他們張口閉口數(shù)學如何如何，這樣就把他們所不懂的數(shù)學全部槍斃了。

5） 故意抬杠的

例如您剛說一句“數(shù)學是科學”，他立馬反駁說“數(shù)學不是科學”，而且搬出不知哪里來的奇談怪論作為論據(jù)。其實他也未必相信自己的說法，只是為了顯示自己與眾不同而已。但這樣的抬杠容易蹭熱度、圈粉。

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小學數(shù)學科學的唯一核心課題：自然數(shù)

現(xiàn)在講本文的主要觀點：小學數(shù)學，至少就數(shù)學科學而言，唯一必設(shè)的課題是自然數(shù)。

然而在小學數(shù)學課程標準（參看 [11]）中所設(shè)的課題有四個方面：“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”。我們現(xiàn)在來逐個細看。

1） “代數(shù)”是中學數(shù)學課程的內(nèi)容，雖然近年來有些中學代數(shù)下放到小學，但不能因此就說它是小學數(shù)學。何況全國數(shù)學教育發(fā)展頗不平衡，很多地方還不能把代數(shù)下放到小學。

2） 關(guān)于圖形的科學，是從初中平面幾何開始的。小學數(shù)學教程中對于圖形的認識，基本上是科普性的，不平凡的主要是面積、體積的計算，實際上是作為數(shù)的一類應(yīng)用題而設(shè)。

3） 統(tǒng)計與概率，即使在中學教程中也只是科普性的，而且現(xiàn)在中學數(shù)學教程中的概率并不比小學教程更深。

4） 小學數(shù)學中有很多應(yīng)用題，這一方面是理解自然數(shù)的重要途徑，另一方面也是學會應(yīng)用自然數(shù)的必要步驟。不過“綜合與實踐”說得含糊其辭。

有一點值得注意：在歷史上的任何一個時期，小學數(shù)學課程都不是很“?！钡?，即總有一些數(shù)學科學以外的內(nèi)容，包括科普方面的內(nèi)容、技術(shù)（早年是珠算，現(xiàn)在有計算器的使用等）、度量衡、法規(guī)（如科學記數(shù)法）等等。

那么，課程標準所講的四個方面，除了“代數(shù)”有點疑問外，也沒有什么錯??？為什么單強調(diào)“自然數(shù)”呢？

請注意另一點：除了自然數(shù)外，其他的內(nèi)容在不同的歷史時期都是經(jīng)常變化的，甚至將來有些會過時。但自然數(shù)是不會有變化更不會過時的。

另一方面，如果自然數(shù)沒學好，其他內(nèi)容學得再好，小學數(shù)學也不能達標。

明白了這些，就知道在小學數(shù)學教學中永遠應(yīng)該重點關(guān)注“自然數(shù)”，這也是小學數(shù)學最難的部分，教學上需要花的功夫也最大。反過來說，永遠不應(yīng)該以其他方面的內(nèi)容沖擊自然數(shù)的教學，或壓縮自然數(shù)教學的課時。

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學習自然數(shù)的過程、目標和難點

然而，很多人覺得自然數(shù)沒什么了不起，人人都識數(shù)。他們忘了自己當年的識數(shù)過程有多艱巨，更不明白很多人一生都沒有完成識數(shù)過程。

數(shù)學是歷史最悠久的科學，而自然數(shù)是科學最早研究的對象。雖然考證很困難，但至少歐幾里得時代的文獻表明，在公元前 500 年人類已經(jīng)完全認識自然數(shù)了。實際上人類認識自然數(shù)的過程可能有數(shù)萬年。而一個孩子的識數(shù)過程需要在數(shù)年時間中走完人類識數(shù)的漫長道路，這絕不可能是一個簡單容易的任務(wù)。

我們下面將小學生的識數(shù)過程做一個粗糙的分解，由此就可以看到其艱巨性。

第一步：數(shù)（sh?）十以內(nèi)的數(shù)

幼兒首先學扳著手指數(shù)數(shù)，這是最早的數(shù)學實驗。

很多人會說：“這算什么實驗呀？”現(xiàn)在固然有很精確的科學實驗手段，但不應(yīng)菲薄老的實驗，因為科學是由此發(fā)展起來的。一百年前的生化實驗，在今天看來很粗糙；今天普通裝修隊配備的激光測距器，五十年前連尖端實驗室里也沒有。而今天頂尖的實驗手段，將來也會被超越。我們下面將談到很多小學數(shù)學實驗，都是廣泛使用并且很有效的。很多人嫌它們簡單粗糙，但現(xiàn)在還很缺少嘗試發(fā)明更好的實驗手段的人。

“一定要扳著手指數(shù)數(shù)嗎？桌上有 3 個蘋果，一眼就看出來了，哪用得著扳著手指數(shù)？”

是的，高等動物有同時處理多個視覺對象的能力，不僅 3 個，多至 5 個甚至 6 個對象都可能“一眼就看出來”。但 10 個就太多了，而且扳著手指數(shù)是有順序的。

這里涉及“自然數(shù)是什么”這樣一個基本問題。僅有“1”是不能成為自然數(shù)的，至少還要有與 1 不同的；僅有 1 和 2 也還不行，因為 1 和 2 可以代表少與多，低與高，甚至黑與白，有與無，對與錯，更一般的矛盾，總之可以表達一個比特的信息。

就是說，有信息的世界就有 1 和 2。但 3 就不同了，超越了一個比特的信息。所以老子說“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。對于古人和今天的幼兒，對 3 的理解是深且難的，開始時可能將 3 理解為“很多”。中國的成語和諺語中有很多“三”是“很多”的意思，如“三人成虎”、“三人行必有我?guī)煛钡?，這種現(xiàn)象在其他民族的語言中也常見。

如上所說，即使很聰明的大腦，對超過 6 個的對象也缺乏直接處理的能力，那么處理“7”就常常是困難的任務(wù)了。因此很多民族的語言中有涉及 7 的諺語和故事，其中的“7”是“很多”的意思。

由此可見，扳著手指數(shù)數(shù)具有超越多對象處理本能的重要意義。

但對于數(shù)（sh?）十以內(nèi)的數(shù)，扳著手指數(shù)數(shù)只是要學的任務(wù)之一，至少還有兩個另外的任務(wù)：理解這些數(shù)的物理意義和學會語言交流。

對于語言交流很明白：既要會數(shù)數(shù)，也要會說一、二、三、四等（在母語中）。當然還需要認識數(shù)字符號，但一般是在識字之后。

而對于理解數(shù)的物理意義這個任務(wù)，很多教育者缺乏足夠的認識，甚至將其忽略。

具體說，要讓孩子在數(shù)數(shù)時，知道所數(shù)的可能是桌上的蘋果，也可能是面前的孩子，等等。就是要從“3 個蘋果”、“3 個孩子”等等得到“3”的概念。這并不容易，需要經(jīng)過反復(fù)學習才能達到。教育者對此需要有足夠的耐心。

一個有效的實驗方法是利用“一一對應(yīng)”，例如讓 3 個孩子拿桌上的 3 個蘋果，每人拿一個，就看到一一對應(yīng)了。

這第一步如果有所欠缺，以后就需要補上，而且這樣的欠缺可能導(dǎo)致質(zhì)量差或效率低，不如先把第一步完全做好。

第二步：一百以內(nèi)的數(shù)的認識

在這一步，扳手指實驗顯然已經(jīng)不夠了，需要一些實驗工具（如小棒）。以往這被稱為“游戲”，但現(xiàn)在很多人已經(jīng)認識到這就是數(shù)學實驗，盡管仍很粗糙。

“按順序數(shù)”的習慣，在這一階段要進一步加強。但這還不夠，要理解這些較大的數(shù)的物理意義，需要初步學習加法。

桌上有兩堆蘋果，一堆有 5 個另一堆有 8 個，現(xiàn)在把兩堆合并，一共有多少個？這就是加法問題。一個好的數(shù)學教育者應(yīng)該知道，加法的原始意義是兩個有限集的無交并的勢（參看 [4]）。

有了加法的初步概念，對于較大的數(shù)如 58，就可以用分為 10 個一堆的 5 堆及 8 個的1堆。這樣也初步認識了十進制。

在這個階段還可以學習比較多少，這也是對于順序的更深刻理解。

一般說來，對于數(shù)字符號的認識也在這一步。

第三步：一百以上的數(shù)的認識

在這一步，學習十進必不可少的，而為此需要認識數(shù)字符號。

加法和大小比較都需要深入，而且需要由大小比較引導(dǎo)到減法。學習加法和減法都需要學豎式筆算。另外還要學習使用計算工具。早年使用的算盤，對于理解十進制和加減法都很有效，現(xiàn)在即使不用，也需要有替代的教具。僅學會用計算器是不夠的。

在這一步，理解數(shù)的物理意義，越來越多地依靠應(yīng)用題。

乘法也是在這個階段引進，有了乘法，就容易理解較大的數(shù)。學習乘法更要學豎式筆算，而且要背九九表。

關(guān)于背九九表，近年來有很多爭議，例如說美國小學生是不背九九表的，還有用計算器也不需要背九九表。但背九九表可以對于數(shù)和乘法有更好的認識，有利于駕馭計算器等工具。

另一方面，只有在充分理解數(shù)和乘法的條件下，背九九表才有數(shù)學教育意義。有的家長在孩子很小尚未理解數(shù)的物理意義時，就讓孩子背九九表（為了參加比賽或者顯示聰明），其實和背“人之初性本善”一樣，只會背而不解其意。這樣的教育很可能傷害孩子學習數(shù)學的前途（參看 [3]）。

第四步：認識整個自然數(shù)

只有認識了整個自然數(shù)集，才能說是認識自然數(shù)了。

華羅庚先生曾經(jīng)這樣生動地描述小孩子識數(shù)的過程（見 [2]）：

“小孩子識數(shù)，先學會數(shù) 1 個，2 個，3 個；過些時候，能夠數(shù)到 10 了；又過些時候，會數(shù)到20，30，...，100 了，但后來，卻決不是這樣一段一段地增長，而是飛躍前進。到了某一個時候，他領(lǐng)悟了，他會說：‘我什么數(shù)都會數(shù)了?！@一飛躍，竟從有限躍到了無窮！”

只有經(jīng)過了這個飛躍，才真正能說是識數(shù)了。

但這個“大徹大悟”的過程，是只能由孩子自己完成的。對于這個過程，華羅庚先生解釋說：

怎樣會的？首先，他知道從頭數(shù)；其次，它知道一個一個按次序地數(shù)，而且不愁數(shù)了一個以后，下一個不會數(shù)。也就是他領(lǐng)悟了下一個數(shù)的表達方式，可以由上一個數(shù)來決定，于是，他也就會數(shù)任何一個數(shù)了。

教育者則只能引導(dǎo)，如上面所說，講了一百以內(nèi)的數(shù)再講一千以內(nèi)的數(shù)、一萬以內(nèi)的數(shù)、一億以內(nèi)的數(shù)，等等，逐步擴展孩子的知識和想象力，直到孩子完成這個“飛躍”。在完成之前，教育者需要有足夠的耐心。

華羅庚先生所說的“從頭數(shù)”、“一個一個按次序地數(shù)”、“不愁數(shù)了一個以后下一個不會數(shù)”，在數(shù)學中可以嚴謹?shù)乇磉_為“皮亞諾公理”。一個好的數(shù)學教育者應(yīng)該明白，自然數(shù)集就是滿足皮亞諾公理的集合（參看 [4]），而且應(yīng)該理解自然數(shù)集的無限性，這是人對于無窮的第一個科學認識。

第五步：對自然數(shù)的認識的加深

自然數(shù)是非常深奧的，即使數(shù)學家也還有很多不明白之處（準確地說，我們不知道的遠比知道的多）。僅僅會數(shù)數(shù)，即使對于小學生認識自然數(shù)也是很不夠的。因此，在上述識數(shù)的過程中和識數(shù)以后，還要有更深入的學習。

具體說，至少要學習這幾個方面：

1） 帶余除法，這方面可參看[10]。

2） 質(zhì)數(shù)（即素數(shù)）及質(zhì)因數(shù)分解，這是數(shù)論的初步概念，學生由此可以看到自然數(shù)的復(fù)雜性和研究的難點。

3） 數(shù)的擴展，包括分數(shù)、小數(shù)等。

今天仍是在中學數(shù)學中才講到的負數(shù)，其實有可能下放到小學。這方面的內(nèi)容并不難，以往不能在小學講主要是因為心理上難以接受（在古代甚至很多數(shù)學家也拒絕接受負數(shù)），但今天負數(shù)在生活中已很常見，如溫度、海拔、科學記數(shù)法（負指數(shù)）、記賬將支出記為負的收入、比賽將失分記為負的得分，等等。因此心理障礙應(yīng)該小多了。

可能有人會問：既然數(shù)的范圍擴展了，為什么還說自然數(shù)最重要呢？分數(shù)或有理數(shù)的范圍更大難道不更重要嗎？

這里有個哲理性的問題：更大的范圍是否就更重要？自然數(shù)能夠擴充為有理數(shù)，是由其內(nèi)在的因素決定的（沒有自然數(shù)的內(nèi)在原因，即使人工地構(gòu)造出負數(shù)和分數(shù)也不能滿足運算法則，參看 [4]）。通俗地說，分數(shù)的性質(zhì)都能由自然數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出，但反之不然，例如對于一個整系數(shù)方程，即使能給出有理數(shù)解也未必能由此判定是否有整數(shù)解。在數(shù)論中對此的觀點是“局部與整體的關(guān)系”，即有理數(shù)是對于整數(shù)的“局部化”，整體決定局部但局部未必能決定整體。

4） 數(shù)的運算法則和大小關(guān)系（包括分數(shù)的大小比較）。

這幾個方面各有難點，仍需要教育者的耐心。此外，需要應(yīng)用題更多而且更深。

由上述幾個必由步驟，足以看到學習自然數(shù)是相當不簡單而且漫長的過程，而且經(jīng)常需要教育者幫助孩子克服難點。一個常見的問題是很多家長對此頗不耐煩。

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小學數(shù)學素質(zhì)的達標要求

小平邦彥認為，在小學通過數(shù)的計算的反復(fù)練習來培養(yǎng)學生數(shù)學的基本學力是最基本的（參看 [1]）。筆者認為這很有道理。

為什么要反復(fù)練習呢？因為孩子一開始總要出錯，只有反復(fù)練習才能使錯誤逐漸減少。

那么少犯錯甚至不犯錯就是終極目標嗎？不然的。孩子不是學習機。在反復(fù)的犯錯-糾錯過程中，孩子會逐漸悟到一些深刻的道理，這對于孩子成才非常重要。

一是明白數(shù)學（首先是自然數(shù)）的絕對真理性。在犯了很多錯被糾正的過程中，孩子逐漸認識到，像 2+3=6 這樣的錯誤，永遠是自己的錯而不是數(shù)學的錯。由此建立對于數(shù)學的信念。

二是對于科學（首先是數(shù)學）的敬畏之心。犯了錯誤要勇于承認和改正，而不是狡辯。無論自己多聰明，也不應(yīng)該對數(shù)學?！靶÷斆鳌保缬迷庌q否認 1+1=2。如果和數(shù)學對抗，更是必死無疑。

三是逐步樹立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。一絲不茍，精益求精，是科學技術(shù)工作所必須具備的基本素質(zhì)。這種素質(zhì)必須從小培養(yǎng)，否則將來就成了廢人。而自然數(shù)的學習是培養(yǎng)嚴謹科學態(tài)度的一個基本途徑。

那么，怎樣才叫小學數(shù)學素質(zhì)達標了呢？

如前面所說，除了自然數(shù)外還有很多其他知識要學，當然這些都是達標所必需的。但最核心的一點，是上面所說的“可靠性”。最低限度，如果自己的錯誤被別人指出，能夠立刻明白并自行改正。如果自己也能發(fā)現(xiàn)和確認別人的錯誤，那水平就高了一個檔次。最高的是能嚴格審視自己的工作，找出所有的錯誤并改正，從而保證自己的工作有高度的可靠性。這樣的孩子才是將來社會特別需要也特別有發(fā)展前途的。

這里似乎與很多人的觀點相悖：社會發(fā)展靠創(chuàng)新呀！沒錯，但創(chuàng)新需要先打好基礎(chǔ)。對于小學生，首先需要學會把最基本的事情做對做好。沒打好基礎(chǔ)就“創(chuàng)新”，是“先天不足”。前面所說的“探索性學習”、“項目式學習”等，并非沒有道理，但在沒有打好基礎(chǔ)之前就搞這類創(chuàng)新性的學習，其實都是造假忽悠，結(jié)果將是害了孩子。

能夠創(chuàng)新的小學生不是沒有，但是極少。不應(yīng)把適合極少數(shù)孩子的教育方法用于大多數(shù)孩子。

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超越自然數(shù)

現(xiàn)在來討論前面所說的“中學數(shù)學下放到小學”。如前面所說，這并非對所有小學生都合適。但是小學數(shù)學如何與中學數(shù)學銜接，是一個對于一般的小學教育都值得研究的課題。

早年中學生的第一個數(shù)學困難是“用字母表示數(shù)”，那時很多中學生剛開始學甚至還沒學英語，這方面的困難是文科性的。現(xiàn)在很多孩子小學就學英語，文科的困難小多了。但數(shù)學上的困難依舊，就是說對于用字母表達的數(shù)學的理解是一個坎。

我們來具體分析一下初中生首先接觸的用字母表達的數(shù)學。最基本的有兩個方面：恒等式與方程。恒等式如a+b=b+a；方程如 3x+4=10。由于它們都還可以用“數(shù)”來解釋，很多人沒有理解它們都已超出了“數(shù)”的范圍。前者可以用語言敘述為“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的次序，和不變”；后者可以用語言敘述為“有一個數(shù)，它的 3 倍加 4 等于 10”。然而在邏輯上，它們都比數(shù)的運算升了一級。

具體說，恒等式 a+b=b+a 的完整敘述是“對任意兩個數(shù) a,b 都有 a+b=b+a”；而方程 3x+4=10 的完整敘述是“有一個數(shù) x 使得 3x+4=10”。這里關(guān)鍵是有了謂詞“任意”（即“一切”） 或“有”（即“存在”）。我們知道謂詞演算是比命題演算高一級的邏輯運算。

不理解謂詞，實際上并沒有真正明白恒等式與方程。這是初中代數(shù)的理解困難的基本原因。

但對于進一步學習數(shù)學，這一步是必須邁出的。初中平面幾何中的命題經(jīng)常都有兩個謂詞，如“過兩點有一條直線”，完整的敘述是“對平面中的任意兩個點 A,B,存在一條直線 l 使得 A,B 都在 l 上”。在微積分中的命題經(jīng)常有三個謂詞，如數(shù)列極限

的完整敘述是“對任意正實數(shù)ε，存在一個正整數(shù)N，使得對任意整數(shù) n＞N 有 |an -a|<ε”。在更深是數(shù)學如實變函數(shù)論或概率論中，還可以看到有四個甚至五個謂詞的命題。由此可見，如果連只含一個謂詞的語句都不理解，是無法學習更深的數(shù)學的。

為了讓孩子們邁過這個坎，仍需要教育者有足夠的耐心。

上面所說的從小學數(shù)學到中學數(shù)學的過渡，需要在小學時期就做準備，主要就是對于恒等式和方程的準備。由上所述可見，這實際上已經(jīng)超越了學習自然數(shù)的范圍。

在這方面有很多教學經(jīng)驗值得分析和總結(jié)。下面講一些具體方法。

對于簡單的恒等式，可以先不用字母表述。例如上面的加法交換律，如果學生完全明白了，再理解 a+b=b+a 就只是從文字表述到用公式表述的轉(zhuǎn)換。

對于方程，則可以先多做應(yīng)用題，例如買一樣東西已知單價 3 元付了 10 元找回 4 元，問買了幾件。

小學里的應(yīng)用題有些較復(fù)雜也較難，而且有一些常見題型，如行程問題、工程問題等。很多應(yīng)用題可以轉(zhuǎn)化為方程。這里舉人們經(jīng)常討論且爭議頗多的“雞兔同籠”為例。

雞兔同籠原本是我國古代用于鍛煉學生解題能力的問題，例如“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這里不言而喻每只雞有兩條腿而每只兔有四條腿。

其實農(nóng)民把雞和兔裝到同一個籠子中拿到市場上去賣，是很平常的事（見照片）。

雞兔同籠題對于一般的小學生是很難的，能自己做出的孩子都很聰明。如對于上面的題目，有的孩子說：“如果把雞的翅膀也當作腿，那么無論雞兔都有 4 條腿，總共就會有 4×35=140 條腿，但題設(shè)只有 94 條腿，那么多出來的140-94=46 條腿應(yīng)該都是翅膀，這樣就知道共有 46÷2=23 只雞，從而兔有 35-23=12 只?！?/p>

那么大多數(shù)孩子做不出來又怎樣呢？無非是下列幾種情形：有的孩子做不出但很想知道答案，就從別的途徑尋求答案；有的孩子做不出就放棄了，甚至以后就忘了；有的孩子由此覺得數(shù)學很有奧妙，雖做不出但提高了對于數(shù)學的興趣。無論哪種情形都不是壞事。

那么，教育者是否需要給不會做的孩子講做法呢？這是愚蠢的，因為此題的一般解法對于數(shù)學教育并無意義。

即使在中國古代的數(shù)學著作（如《九章算術(shù)》）中也有很多可以轉(zhuǎn)化為方程的問題。例如對上面的雞兔同籠題，設(shè)雞有 x 只，兔有 y 只，則題設(shè)可以用方程表達為

有人會說這太繁了，可以用一元方程表達。其實不然，列一元方程需要數(shù)學推導(dǎo)，而上面的方程組只是按原題轉(zhuǎn)述而已。

在學生學了方程之后，這類問題都將成為很容易而且不需要很聰明就能做的題目。因此，過多地講“題型”是沒必要的。

那么不能先講方程再用來做這類應(yīng)用題嗎？其實現(xiàn)在有些人就是這樣主張的。有了一般方法就可以應(yīng)用于解決很多特殊問題，這樣效率不就高了嗎？類似的主張在中學數(shù)學教育中更多。

小平邦彥對此堅決反對，認為“數(shù)學教育應(yīng)按數(shù)學發(fā)展史順序進行，而不是按邏輯基礎(chǔ)來進行”（參看 [1]）。筆者很贊同他的觀點。

在邏輯上，固然是由一般可以推導(dǎo)出特殊，因此掌握了一般原理就可以用于解決很多具體問題。但人的學習規(guī)律，是從特殊到一般，從具體到抽象，從簡單到復(fù)雜，從容易到難，從低到高。不掌握足夠的特例，是不能深刻理解一般規(guī)律的。在這方面教育不能偷工減料，老師省事了學生就苦了。

最后強調(diào)一點：由上所述可見，自然數(shù)的教學對于小學數(shù)學教師的要求很高。好的數(shù)學教師應(yīng)該對于自然數(shù)有深刻的認識，并盡可能廣泛地了解自然數(shù)的物理意義。

參考文獻

[1] 代欽：小平邦彥的數(shù)學教育思想------兼論數(shù)學家與數(shù)學教育家的爭論. 《數(shù)學通報》2007 年第 6 期

[2] 華羅庚：《數(shù)學歸納法》，《數(shù)學小叢書》 15，科學出版社（2002）

[3] 姜樹生：可怕的幼兒數(shù)學教育（2011.3.）

[4] 李克正：自然數(shù)的定義和基本性質(zhì)（2017.11.）

[5] 李克正：怎樣學好數(shù)學，返樸網(wǎng)（2019.9.）

[6] 李克正：現(xiàn)代社會對于勞動者的數(shù)學素質(zhì)的需求（2019.11.）

[7] 蓮溪：是誰奪走了美國人的數(shù)學能力？--美國百年數(shù)學戰(zhàn)爭演義，皮皮蝦網(wǎng)（2017.3.）

[8] 其故：得數(shù)學者得天下，返樸網(wǎng)（2019.8.）

[9] 咸道：致家長（2018.4.）

[10] 咸道：帶余除法的重要性 ------ 續(xù)“致家長”（2019.1.）

[11] 小學數(shù)學新課程標準（2011年版）

[12] 尹裕：數(shù)學啟蒙教育之我見（2014.2.）

[13] 朱忠明：中學生數(shù)學素養(yǎng)測評模型的構(gòu)建與實測研究（2018.3.）