OK！我們終于將行列式的基本內(nèi)容介紹完了！接下來，我們就可以進入行列式的最后一個部分——行列式按k行（列）展開。

我們上一篇專欄已經(jīng)講過了行列式按一行（列）展開的公式，其作用可以說是十分顯著的，這可以通過我們上一篇里的思考來體會。這一篇里，我們會將這一結(jié)論升級，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于k行（列）的展開公式。其原理倒也類似，只是討論起來多了一些東西要考慮罷了。

Chapter? Two? 行列式

2.6? 行列式按k行（列）展開

我們上一篇里提到的按一行（列）展開公式的基本思路是固定n個元素將乘積項分類，進而去研究各類中的乘積項的求和是什么樣的。以這樣的思路我們得到的是行列式按一行（列）展開的公式。如果我們大膽一點，把一行變?yōu)閗行，能否得到類似的結(jié)論呢？

為了便于我們表述我們這一大膽的想法，我們需要定義一個有關(guān)行列式的新的概念——行列式的子式。

我們在上一篇專欄中介紹行列式的展開公式的時候曾經(jīng)說明過，所謂余子式，就是去除行列式某一個元素所在行和列的全部元素，其他的元素保持相對位置不動而直接組合形成的新的降一階的行列式。余子式事實上是一種特殊的子式，其特點是僅去除了行列式中與特定元素相關(guān)的元素，而其他的元素仍舊是原行列式中的不動的元素。那么，抽離出其特點，我們可以對應(yīng)地定義對于行列式某k行k列而言的子式和余子式。

我們不難觀察到，被去除的元素實際上可以被看成是其所在行與列的交叉點位置的元素。而一階行列式就是元素本身，于是被去除的元素本身也就可以被看成由某一行一列交叉出的元素構(gòu)成的行列式。更一般的，我們?nèi)我馊《ㄐ辛惺降哪砶行與k列的交叉處的個元素，不改變其相對位置，得到了一個k階行列式。由于所有的元素都是行列式內(nèi)的元素，于是我們稱這樣的行列式為原行列式的k階子式，記為：

對應(yīng)的，去除這k行與k列的所有元素后，剩下的元素不改變其相對位置，組合成了一個n-k階子式（相當(dāng)于是剩下的n-k行與n-k列交叉處的元素構(gòu)成的子式），稱之為該k階子式的余子式，記為：

參考對于一行（列）展開的情況，我們可以仿照原本的形式，定義：

為這k階子式的代數(shù)余子式。

那么，按照行列式按一行（列）展開的公式，我們猜測行列式按k行（列）展開的公式可能也具有類似的形式：

其中，有：

首先，對于的選取，由于實際上是在n列當(dāng)中選擇出k列來構(gòu)成子式，所以一共有中選擇方式，也就是右側(cè)實際上是對共項求和；同時，又因為對于每個選定好的子式與余子式，其包含的乘積項分別共有k!與(n-k)!項，于是在右側(cè)表達式中共有n!項。這表明，左右兩側(cè)的帶求和的乘積項的數(shù)目是一樣的。我們接下來要做的，只是去證明，等式右側(cè)表達式中的每個乘積項在等式左側(cè)的表達式中都有一項與之對應(yīng)。

我們只要直接將乘積項的表達式寫出來，做一些簡單的變換推導(dǎo)就能得到：

由于數(shù)項乘法具有交換律，所以我們可以很自然地將其寫成如下形式：

所以我們只需要證明：

顯然，我們知道：

（簡單解釋，就是說，較大的數(shù)組的排列當(dāng)中一定包含了小的數(shù)組的排列的逆序數(shù)；同時，還應(yīng)該有兩個互不交叉的數(shù)組之間的元素排列出的逆序數(shù)。后者的計算可以使用固定其中一個數(shù)組，使另一個數(shù)組中的元素與之一一配對，比較大小，得到對應(yīng)的逆序?qū)?shù)。將所有這樣得到的逆序?qū)?shù)加和，就是這一部分的逆序數(shù)。）

對于任何一個而言，我們不妨設(shè)其在第一個數(shù)組當(dāng)中有t-1個元素比它小，從而它是第t位的。而在總共的n個數(shù)當(dāng)中，一共應(yīng)該有個數(shù)比小。于是在第二個數(shù)組當(dāng)中，一共有個數(shù)比小。從而對應(yīng)的逆序數(shù)就有：

顯然，在s取遍1到k時，t也應(yīng)該取遍1到k，于是就有：

當(dāng)然，關(guān)于如何計算等號左側(cè)的第三項，我們還可以采取一個巧妙的構(gòu)造方法。從第三項的表達式上來看，實際上是在求第一個數(shù)組的元素相對于第二個數(shù)組排列的逆序?qū)?shù)?，F(xiàn)在，我們考慮第一個數(shù)組的一個順序排列（即按照大小順序排列出的逆序數(shù)為0的排列）：

于是，我們就知道：

（還是采用了我們的解釋當(dāng)中的做法，只不過是逆用了一下。）

遞推可得：

此時，對于等號右側(cè)的逆序數(shù)所對應(yīng)的排列，我們就能發(fā)現(xiàn)：

總之，不管如何理解，我們都得到了：

又考慮到：

于是我們的待證就變成了：

按照我們前面所討論的，應(yīng)該有：

但是考慮到我們的選取，子式與余子式的元素的相對位置都不改變，所以天然有：

于是有：

于是我們就證明了定理。

這就是行列式的按k行（列）展開公式，這一定理稱為Laplace定理。

（這里一定要注意到，k(k+1)一定是一個偶數(shù)，這是初等數(shù)論的基本結(jié)論。）

作為這一定理的直接應(yīng)用，我們不難得出：

（其中，A為m階方陣，B為n階方陣，C為n×m階矩陣，O為元素全為0的矩陣。）

我們后面會講到，這種表示法稱為矩陣的分塊。但是現(xiàn)在，我們只需要知道，這只是一種按照區(qū)域?qū)仃囘M行一種分類的表示方法即可。

思考：

1. 計算2n階行列式：

   

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！