2023年數(shù)學(xué)建模美賽備戰(zhàn)參考—時(shí)間序列模型 時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。分析時(shí)間序列的方法構(gòu)成數(shù)據(jù)分析的一個(gè)重要領(lǐng)域，即時(shí)間序列分析。? 時(shí)間序列根據(jù)所研究的依據(jù)不同，可有不同的分類(lèi)。? 1、按所研究的對(duì)象的多少分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。? 2、按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。? 3、按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。 4、按時(shí)間序列的分布規(guī)律來(lái)分，有高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。 時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來(lái)研究其變化趨勢(shì)的。一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類(lèi)變化形式的疊加或耦合。? 1、長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)。它是指時(shí)間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢(shì)。? 2、季節(jié)變動(dòng)。? 3、循環(huán)變動(dòng)。通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動(dòng)。? 4、不規(guī)則變動(dòng)。通常它分為突然變動(dòng)和隨機(jī)變動(dòng)。 移動(dòng)平均法是根據(jù)時(shí)間序列資料逐漸推移，依次計(jì)算包含一定項(xiàng)數(shù)的時(shí)序平均數(shù)，以反映長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，可用移動(dòng)平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測(cè)序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)。?

移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法，趨勢(shì)移動(dòng)平均法等。

簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法只適合做近期預(yù)測(cè)，而且是預(yù)測(cè)目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)變化不大的情況。如果目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)存在其它的變化，采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法就會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測(cè)偏差和滯后。

在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來(lái)情況的信心。因此，把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡合理的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對(duì)近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，這就是加權(quán)移動(dòng)平均法的基本思想。

簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法，在時(shí)間序列沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動(dòng)平均，利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律來(lái)建立直線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。這就是趨勢(shì)移動(dòng)平均法。

指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。

一次指數(shù)平滑法雖然克服了移動(dòng)平均法的缺點(diǎn)。但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，仍存在明顯的滯后偏差。因此，也必須加以修正。修正的方法與趨勢(shì)移動(dòng)平均法相同，即再作二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律建立直線趨勢(shì)模型。這就是二次指數(shù)平滑法。

差分方法和指數(shù)平滑法的聯(lián)合運(yùn)用，除了能克服一次指數(shù)平滑法的滯后偏差之外，對(duì)初始值的問(wèn)題也有顯著的改進(jìn)。因?yàn)閿?shù)據(jù)經(jīng)過(guò)差分處理后，所產(chǎn)生的新序列基本上是平穩(wěn)的。

自適應(yīng)濾波法與移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法一樣，也是以時(shí)間序列的歷史觀測(cè)值進(jìn)行某種加權(quán)平均來(lái)預(yù)測(cè)的，它要尋找一組“最佳”的權(quán)數(shù)，其辦法是先用一組給定的權(quán)數(shù)來(lái)計(jì)算一個(gè)預(yù)測(cè)值，然后計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，再根據(jù)預(yù)測(cè)誤差調(diào)整權(quán)數(shù)以減少誤差。這樣反復(fù)進(jìn)行，直至找出一組“最佳”權(quán)數(shù)，使誤差減少到最低限度。由于這種調(diào)整權(quán)數(shù)的過(guò)程與通訊工程中的傳輸噪聲過(guò)濾過(guò)程極為接近，故稱(chēng)為自適應(yīng)濾波法。

自適應(yīng)濾波法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：一是技術(shù)比較簡(jiǎn)單，可根據(jù)預(yù)測(cè)意圖來(lái)選擇權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和學(xué)習(xí)常數(shù)，以控制預(yù)測(cè)。也可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)選定。二是它使用了全部歷史數(shù)據(jù)來(lái)尋求最佳權(quán)系數(shù)，并隨數(shù)據(jù)軌跡的變化而不斷更新權(quán)數(shù)，從而不斷改進(jìn)預(yù)測(cè)。由于自適應(yīng)濾波法的預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)單，又可以在計(jì)算機(jī)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所以這種預(yù)測(cè)方法應(yīng)用較為廣泛。

趨勢(shì)外推法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)時(shí)資料，尋求事物發(fā)展規(guī)律，從而推測(cè)出事物未來(lái)狀況的一種比較常用的預(yù)測(cè)方法。利用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要包括六個(gè)階段：選擇應(yīng)預(yù)測(cè)的參數(shù)；收集必要的數(shù)據(jù)；利用數(shù)據(jù)擬合曲線；趨勢(shì)外?

推；預(yù)測(cè)說(shuō)明；研究預(yù)測(cè)結(jié)果在進(jìn)行決策中應(yīng)用的可能性。?

趨勢(shì)外推法常用的典型數(shù)學(xué)模型有：指數(shù)曲線、修正指數(shù)曲線、生長(zhǎng)曲線、包絡(luò)曲線等。?

一般來(lái)說(shuō)，技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)的增長(zhǎng)，在其未達(dá)飽和之前的新生時(shí)期是遵循指數(shù)曲線增長(zhǎng)規(guī)律的，因此可以用指數(shù)曲線對(duì)發(fā)展中的事物進(jìn)行預(yù)測(cè)。

利用指數(shù)曲線外推來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，存在著預(yù)測(cè)值隨著時(shí)間的推移會(huì)無(wú)限增大的情況。這是不符合客觀規(guī)律的。因?yàn)槿魏问挛锏陌l(fā)展都是有一定限度的。例如某種暢銷(xiāo)產(chǎn)品，在其占有市場(chǎng)的初期是呈指數(shù)曲線增長(zhǎng)的，但隨著產(chǎn)品銷(xiāo)售量的增加，產(chǎn)品總量接近于社會(huì)飽和量時(shí)。這時(shí)的預(yù)測(cè)模型應(yīng)改用修正指數(shù)曲線。

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