我們已經介紹過有關線性方程組的基本知識了，包括利用代數的基本語言（矩陣形式等）來描述和解決線性方程組的求解問題，以及利用矩陣變換來描述和解決線性方程組的解的存在性問題等。

但是，我們對其的描述尚還停留在一些自然語言層面。換句話說，就是我們對線性方程組的認識是只能通過一些非形式半邏輯的語言的來描述各種結論，表達與表述上都過于繁瑣，不具美感，也不是很符合數學的一般特征。（至少于我而言是如此，能否使用簡潔的數學語言表達是對于數學學習、研究與發(fā)展的一個非常重要的方面。如果一個定理的證明與表達很多時候都沒有好的符號表達，實際上反而不是很利于學習與研究的。）

于是，我們就有必要研究出一種數學形式，來簡化我們的表述，同時還要推導出更多的利用這種新的數學形式對代數學研究更有意義的結論。

既然，我們將線性方程組抽離成了幾個矩陣（系數矩陣、增廣矩陣等），而矩陣本身是一張數表，那么我們自然就會想到，能否有一種對于數表的定義來勝任這項工作呢？

我們很容易想到，這很可能涉及到在數學分析部分淺提及過（雖然沒有具體給出過，因為我們默認大家至少是會算的）的概念——行列式。那我們就有必要仔細研究一下，行列式的定義。

Chapter? Two? 行列式

2.1? n元排列? &? 2.2? n階行列式的定義

我們是簡要了解低階行列式的計算方法的，例如三階行列式：

無論如何，行列式的計算是與其中的元素高度相關的。比較不同的是，其中各種乘積項（下簡稱為項）的符號并不相同。如何確定符號，就是一個十分重要的問題。

不難看出，上述各乘積項前的符號，實際上是與列序數的排列有關系的（因為我們已經保證了行序數一定了），所以，我們可以從列序數的排列方式入手，來研究行列式各項的符號關系。

我們定義，n個不同的正整數的排列為一個n元排列。

例如，在三階行列式當中，有：

123，231，312，321，213，132

共六個3元排列。

通過組合數學的知識，我們可以了解到，對于n個不同的正整數來說，所能形成的n元排列共有n！個。因此，首先我們就能知道，對于任何一個行列式，固定行序數的排列順序，其項都有n！個。（這與三階行列式的結果也是相吻合的。）

我們再從三階行列式入手，看看列序數的排列可以怎樣對應項的符號。

我們固定首位數不變，改變后兩位數的順序，可以看到，此時項的符號是正相反的。比如：

123，132——符號相反；

231，213——符號相反；

312，321——符號相反。

這啟示我們，改變一次相鄰列序數的排列順序，會將符號倒置。

考慮了符號的改變，我們再來看看符號相同的各項之間有什么特點。

我們看到，從123到231，需要相鄰列序數至少交換兩次；而從123到312也是如此。同樣地，對于132，213，321，每兩項之間也要使相鄰列序數發(fā)生至少兩次交換。

于是，我們就得到了，改變兩次相鄰列序數的排列順序，符號不變。

這就是行列式的各項之間符號規(guī)律。但是，僅有這樣的規(guī)律仍然無法最終定奪各項的符號。以三階行列式為例，我們只是知道了哪些項之間符號相同，哪些項之間符號不同，但是我們并不能知道要給哪一邊賦以正，哪一邊賦以負。我們需要一個決定性的規(guī)定，來明確至少一邊的符號。

我們看到，在所有排列當中，有一個較為特殊的排列——123。123這一排列，其順序與自然數一般增長的順序一致，稱為自然排列。在三階行列式中，自然排列的符號為正，二階行列式也如此。因此，我們不妨直接規(guī)定，具有自然排列的項的符號一定為正。

所以，所有在自然排列的基礎上做了偶數次相鄰列序數改變的排列，其符號都為正，稱為偶排列；所有在自然排列的基礎上做了奇數次相鄰列序數改變的排列，其符號都為負，稱為奇排列。

按照我們以上的討論，以及三階行列式的例子，我們很容易發(fā)現，似乎行列式中奇排列和偶排列的個數是相等的。（為了簡化敘述，我們以“排列”代替“項”。）事實是否一定如此呢？

我們不妨設任意n階行列式（n≥2）的偶排列個數為k，則奇排列的個數為(n!-k)。由于所有的奇排列經過一次相鄰列序數的順序改變都會變成一個偶排列，所以應該有k≥(n!-k)；同樣地，所有的偶排列經過一次相鄰列序數的順序改變，都會變成一個奇排列，所以有(n!-k)≥k。因此，我們得到n!-k=k，即：

這說明任意n階行列式（n≥2）中的奇排列和偶排列個數都是相等的。

雖然我們目前明確了行列式的符號規(guī)律，并且完全確定了行列式中什么樣的項取定什么符號，但是我們仍然沒辦法以一種數學表達式來明確符號歸屬。所以我們要在我們所得到的上述規(guī)律當中，抽離出一種可以數字化的概念，與(-1)配合，完成對符號的嚴格數學表達。

我們知道，對于任何一種排列，我們都可以從自然排列出發(fā)，通過相鄰數的順序的改變來達到；反之亦可。（命題1，證明采用數學歸納法即可。）

因此，我們就知道，在符號規(guī)律當中，最為重要的，就是列序數通過改變相鄰序數順序變?yōu)樽匀慌帕械拇螖?。我們將這個數稱為該排列的逆序數。顧名思義，就是與正常順序相反的順序的數目。只要我們依次糾正這些不正常的順序，最終就能夠達到自然排列。

我們從任意排列當中選出兩個數，將其不改變順序的放置在一起，組合成一個數對。如果這個數對是順序的，就是一個順序對；如果是逆序的，就是一個逆序對。（順序與逆序是與它們在自然數中的數位相比較得出的。）

對于逆序對，如果我們想要把它糾正成順序對，在原排列中，我們就需要將二者不斷靠近直至相鄰。加入我們令n不動，不斷交換m的位置，直到二者相鄰，共需要m-n+1次；之后發(fā)生一次交換，改變數序；最后n再通過m-n+1次的交換回到原位。此時，逆序對的數目減少了一個。我們一共交換了2(m-n+1)+1次，相當于1次。此時正好改變了排列的奇偶性。

我們將這樣改變任意兩個數的順序的操作稱為對換，即“對調交換”。于是，我們有：

一次對換改變排列的奇偶性。

于是，我們受到啟發(fā)，定義排列當中的逆序對數，稱為該排列的逆序數，記為：

其中，為一個n元排列。此時，行列式中任意項的符號為：

于是，行列式就可以表達為：

（我們知道，行列式是基于n階方形數表的運算規(guī)律，因此也可以利用矩陣的符號來表示。）

以上的討論過程是以行序數順序一定為前提的（這里是自然排列序），那如果是以列序數一定為前提呢？

首先，無論是固定行序數順序，還是固定列序數順序，排列的個數是不會改變的。我們需要考慮的，就是對應項之間符號是否相同。換句話說，就是經過一定的順序改變之后，我們將列序數順序一定變?yōu)槲覀冎付ǖ男行驍淀樞蛑?，對應的逆序數有沒有發(fā)生改變。

對于列序數順序一定的情況，其實就是：

我們將排列：

通過次對換變?yōu)椋?/p>

此時，列序數的排列變?yōu)椋?/p>

于是，就有：

則有：

其中，

與

只有各項順序上的不同。

于是，行列式又可以定義為：

我們利用行列式的定義，直接得到一個有關特殊行列式的結果。

我們定義：

形如：

的矩陣，其特點是主對角線（即滿足行序數等于列序數的位置連成的對角線）以下的元素都為0，稱為上三角形矩陣。對應的行列式稱為上三角形行列式。

我們通過定義，很容易就能得到，上三角形行列式的結果等于主對角線上的元素之積。

（命題2）

（對應的，我們還有下三角形矩陣與下三角形行列式的定義與結果。）

思考：

1. 證明命題1；

2. 證明命題2；

3. 求出下列排列的逆序數，并判斷其奇偶性：

   （1）315462；

   （2）365412；

   （3）518694237；

   （4）518394267；

4. 證明：如果在n階行列式中，第行分別與第列交叉位置的元素都是0，且k+l＞n，則該行列式的值為0；

5. 證明：n階方陣（n≥2）的各元素為1或-1，則det A為偶數。
   

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！