兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題
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\title{兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題}
\author{真王無(wú)敵}
\date{}
\geometry{a4paper,top=0.5cm,left=2cm,right=2cm}
\begin{document}
\maketitle
\section*{題目}
1、(SHNU)化簡(jiǎn)矩陣項(xiàng)級(jí)數(shù)$I_2+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{A^n}{n!}$為最簡(jiǎn)形式，其中$A=$
$\begin{pmatrix}
? ? 0 & t \\??
? ? -t & 0??
\end{pmatrix}$
$,t\in \mathbb{R}$
2、(FDU)已知$E$為三階單位矩陣，三階矩陣$B=$
$\begin{pmatrix}
? ? 1 & 2 & 3\\??
? ? 4 & 5 & 6\\
? ? 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$
，求極限$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}B\right|^n$
\section*{解答}
1、計(jì)算不難得到：
$$A^2=
\begin{pmatrix}
? ? -t^2 & 0 \\??
? ? 0 & -t^2??
\end{pmatrix},A^{2n}=(-1)^n
\begin{pmatrix}
? ? t^{2n} & 0 \\??
? ? 0 & t^{2n}??
\end{pmatrix},A^{2n+1}=(-1)^n
\begin{pmatrix}
? ? 0 & t^{2n+1} \\??
? ? t^{2n+1} & 0??
\end{pmatrix}
$$
于是
\begin{align*}
I_2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&=
\begin{pmatrix}
? ? ? ? \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!} & 0 \\??
? ? ? ? 0 & \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}??
? ? \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
? ? ? ? 0 & \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!} \\??
? ? ? ? -\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!} & 0?
? ? \end{pmatrix}? \\
? ? &=
? ? \begin{pmatrix}
? ? ? ? \cos t & 0 \\??
? ? ? ? 0 & \cos t?
? ? \end{pmatrix}
? ? +
? ? \begin{pmatrix}
? ? ? ? 0 & \sin t \\??
? ? ? ? -\sin t & 0?
? ? \end{pmatrix}
? ? =
? ? \begin{pmatrix}
? ? ? ? \cos t & \sin t \\??
? ? ? ? -\sin t & \cos t?
? ? \end{pmatrix}? \\
\end{align*}
2、不難計(jì)算
$$\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}B\right|=
\begin{vmatrix}??
? 1-\displaystyle\frac{1}{n} & \displaystyle\frac{2}{n} & \displaystyle\frac{3}{n} \\??
? \displaystyle\frac{4}{n} & 1-\displaystyle\frac{5}{n} & \displaystyle\frac{6}{n}? \\??
? \displaystyle\frac{7}{n} & \displaystyle\frac{8}{n} & 1-\displaystyle\frac{9}{n}? \\??
\end{vmatrix}?
=1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}
$$
于是問(wèn)題就變成了求極限
$$\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}\right)^n=\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}\right)^{\displaystyle\frac{1}{\frac{15}{n}+\frac{18}{n^2}}\cdot\left(\frac{15}{n}+\frac{18}{n^2}\right)n}=e^{-\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(15+\frac{18}{n}\right)}=e^{-15}$$
\end{document}
