撰文?|?曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所）

從前打仗燒錢，如今打仗還燒腦子。

——作者

摘要???21世紀(jì)的一個(gè)重要特征是，哪怕是笑話也都有科技含量，沒(méi)有點(diǎn)兒數(shù)理底子還真捕捉不到笑點(diǎn)。近日寶島退將侯“一發(fā)導(dǎo)彈攔截成功率70%，三發(fā)一起攔截成功率210%”的高論，給這個(gè)平淡的夏日添了個(gè)超級(jí)笑料。然而，導(dǎo)彈攔截不是個(gè)簡(jiǎn)單的概率計(jì)算問(wèn)題，它還是物理問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。借著品味這個(gè)笑話，我們不妨好好學(xué)習(xí)一些加法的基礎(chǔ)知識(shí) ，以及描述飛行物體的物理知識(shí)。

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引? 子?

笑話年年有，今年更獨(dú)特。近些日子，有寶島退休將領(lǐng)侯做電視節(jié)目嘉賓時(shí)言道：“一發(fā)導(dǎo)彈攔截的成功率是70%，那我三發(fā)一起攔截，成功率就是210% 嘛，哪有攔不住的！” 有點(diǎn)兒常識(shí)的人瞬間捕捉到這是個(gè)大笑話，嚇得趕忙捧腹扶眼鏡。這笑話在華人圈一時(shí)間熱度飆到42℃。有人直言這位寶島退將的數(shù)學(xué)是體育老師教的，結(jié)果因?yàn)槲耆枇梭w育老師被體育老師給打了。有寶島女嘉賓怒懟，“一發(fā)導(dǎo)彈攔截成功率70%，三發(fā)攔截成功率就是210%，照這么說(shuō)四杯25℃的水，倒在一起直接就沸騰嘍！”還有人從排列組合的角度，分別給出三發(fā)導(dǎo)彈中與不中八種不同組合的概率。這畫風(fēng)轉(zhuǎn)換有點(diǎn)兒快，一個(gè)笑話竟然還引出一堂數(shù)學(xué)課來(lái)了。
既然有人關(guān)切，筆者也來(lái)湊個(gè)熱鬧，假裝很不嚴(yán)肅地好好討論一下這個(gè)問(wèn)題：“設(shè)一發(fā)反導(dǎo)導(dǎo)彈對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈的攔截成功率為70%，那么，三發(fā)一起攔截的成功率是多少？”

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概率的數(shù)學(xué)初步

首先，alas，這個(gè)問(wèn)題是錯(cuò)的！對(duì)著來(lái)襲導(dǎo)彈發(fā)射一發(fā)反導(dǎo)導(dǎo)彈，結(jié)果就兩種：擊中或者沒(méi)擊中。用數(shù)值表示，就是1或者0，沒(méi)有成功率70%的說(shuō)法。所謂的成功率為70%這種說(shuō)法，是一種統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言的描述，而統(tǒng)計(jì)是針對(duì)大數(shù)而言的。設(shè)用某型號(hào)導(dǎo)彈攔截某確定型號(hào)的來(lái)襲導(dǎo)彈，在相同條件下實(shí)驗(yàn)了N次，其中成功了M次，則若N 足夠大，數(shù)值?

?可認(rèn)定為該導(dǎo)彈攔截實(shí)驗(yàn)的成功率。因此，正確的說(shuō)法是用某型號(hào)導(dǎo)彈攔截某型號(hào)來(lái)襲導(dǎo)彈的成功率為多少，而不是用一發(fā)導(dǎo)彈攔截的成功率為多少。那么，實(shí)驗(yàn)次數(shù)?(觀察次數(shù))， 或者用更一般性的術(shù)語(yǔ)，統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)，多大才算足夠大呢？這個(gè)得看具體的研究對(duì)象了。比如，有一門物理叫統(tǒng)計(jì)物理，其涉及對(duì)象的樣本數(shù)動(dòng)輒是1023量級(jí)的；關(guān)于我國(guó)國(guó)民出生時(shí)體重的統(tǒng)計(jì)，樣本數(shù)是在10億的規(guī)模。至于反導(dǎo)導(dǎo)彈的成功率，要求實(shí)驗(yàn)次數(shù)達(dá)100次計(jì)算的成功率才是可靠的，這在數(shù)學(xué)上不過(guò)分吧？但這從物理的角度看卻很過(guò)分。用100發(fā)反導(dǎo)導(dǎo)彈做實(shí)驗(yàn)去獲得其成功率數(shù)據(jù)？你問(wèn)問(wèn)一般國(guó)力的國(guó)家買不買得起100發(fā)反導(dǎo)導(dǎo)彈？所以，某型號(hào)導(dǎo)彈攔截成功率的說(shuō)法其實(shí)是個(gè)不很靠譜的說(shuō)法。
好吧，退一步說(shuō)，假設(shè)攔截成功率為70% 是個(gè)經(jīng)過(guò)大數(shù)實(shí)驗(yàn)得到的比較可靠的說(shuō)法。70%成功率的攔截導(dǎo)彈可讓人不踏實(shí)。如果想提高攔截成功率，直覺(jué)的做法是多發(fā)幾發(fā)反導(dǎo)導(dǎo)彈，一發(fā)不行兩發(fā)，兩發(fā)不行三發(fā)……這就引出了一個(gè)問(wèn)題，用n發(fā)導(dǎo)彈攔截，攔截成功率是多少？具體到本文關(guān)切的問(wèn)題，攔截成功率為70%的某型導(dǎo)彈，3發(fā)導(dǎo)彈攔截一發(fā)來(lái)襲導(dǎo)彈，成功率是多少？
一種算法是，70% + 70% + 70% = 210%。210% > 100%, ?結(jié)論：“那肯定就攔截成功了嗦！”這當(dāng)然是個(gè)笑話。但是，這個(gè)笑話卻引出一個(gè)比較嚴(yán)肅的話題：“什么樣的（物理）量是（代數(shù)）可加的？” 我們熟悉的長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、兜里的鈔票、物體數(shù)目等等是?(代數(shù))?可加的。比如
3個(gè)+5個(gè)=8個(gè)3米+5米=8米3塊錢+5塊錢=8塊錢3千克+五千克=8千克
就是我們熟悉的加法。但是，但是，千萬(wàn)不要以為代數(shù)加法簡(jiǎn)單。有學(xué)過(guò)普通物理的朋友會(huì)說(shuō)電荷也是代數(shù)可加的（麥克斯韋的電磁學(xué)經(jīng)典會(huì)有專門一節(jié)講關(guān)于電荷代數(shù)可加性的認(rèn)識(shí)過(guò)程），3庫(kù)倫+5庫(kù)倫=8庫(kù)倫。然而，這里有個(gè)大陷阱。電荷跟質(zhì)量不同的地方在于它是極性的（polar），電荷分正負(fù)。-3庫(kù)倫+3庫(kù)倫=0 庫(kù)倫。一個(gè)區(qū)域內(nèi)總電荷為 0 庫(kù)倫是沒(méi)有電荷嗎？你要這么想就na?ve 了。一個(gè)區(qū)域內(nèi)總電荷為零，同一個(gè)區(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷，是完全不同的兩種物理體系。就是錢財(cái)這個(gè)量，一旦被擴(kuò)展到可取負(fù)值的情形，其加法也是可疑的。比如，某甲月收入3800元，某乙月進(jìn)賬24833800元，欠賬24830000元，24833800+(-24830000)=3800，但前者是普通高收入階層，而后者屬于精英土壕階層。
熱力學(xué)會(huì)將物理量按照性質(zhì)嚴(yán)格地加以區(qū)分。粒子數(shù) N、體積 V、表面積A等是廣延量。兩個(gè)體系湊一起，相應(yīng)的這些量可以代數(shù)相加，其分別對(duì)應(yīng)的化學(xué)勢(shì)μ、壓強(qiáng)p、表面能σ則是強(qiáng)度量。強(qiáng)度量不能簡(jiǎn)單相加。
前述寶島女嘉賓怒懟，“……照這么說(shuō)，四杯25℃的水倒在一起直接就沸騰嘍！” 這說(shuō)明大家都知道溫度是不能簡(jiǎn)單相加的。在熱力學(xué)里，溫度T是個(gè)強(qiáng)度量，它對(duì)應(yīng)的廣延量就是不懂的人特別愿意使用的概念：熵?(S，entropy)。其實(shí)，溫度是個(gè)統(tǒng)計(jì)量，很少有體系有明確的溫度，但熵總是有的，且可以簡(jiǎn)單相加。
本文關(guān)注概率問(wèn)題，概率不能簡(jiǎn)單相加！一般教科書里處理的簡(jiǎn)單概率問(wèn)題，會(huì)用到與二項(xiàng)式展開(kāi) (p+q)n?相關(guān)的楊輝三角?(Pascal triangle)?方面的知識(shí)。讓我們一起回顧一下。二項(xiàng)式展開(kāi)?(p+q)n?的前幾項(xiàng)如下：

注意右面各行的系數(shù)。再硬性(!)引入(p+q)0=1??(這說(shuō)明為什么自然數(shù)要從0開(kāi)始)， 就構(gòu)成了大家熟悉的楊輝三角?(圖1)?。

圖1. ?楊輝三角 (Pascal triangle)
設(shè)想 p 是某件事發(fā)生?(成功)?的概率，q 是某件事未發(fā)生?(不成功)?的概率，p+q=1。現(xiàn)在神奇的事情發(fā)生了。不管 n 是幾，(p+q)n=1都成立。這就是說(shuō)，楊輝三角的每一行恰恰就是這類事件被重復(fù)考察n次時(shí)，相應(yīng)的各種可能對(duì)應(yīng)的概率。比如，對(duì)某事件實(shí)驗(yàn)三次，則表達(dá)式?(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3?的右側(cè)分別就是發(fā)生3，2，1，0次的概率；若對(duì)某事件實(shí)驗(yàn)四次，則表達(dá)式?(p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4?的右側(cè)分別就是發(fā)生4，3，2，1，0次的概率。是不是很簡(jiǎn)單？
于是，關(guān)于“一發(fā)導(dǎo)彈攔截成功率為70%，三發(fā)導(dǎo)彈攔截的成功率是多少” 這事兒，有人會(huì)計(jì)算如下。參照表達(dá)式??(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3?，則三發(fā)皆中的概率為70%×70%×70%=34.3%，兩發(fā)中一發(fā)未中的概率為3×70%×70%×30%=18.9%；一發(fā)中兩發(fā)未中的概率為3×70%×30%×30%=44.1%。?三者相加，故攔截成功的概率為97.3%?；蛘?， 攔截不成功的概率為?30%×30%×30%=2.7%?，則攔截成功的概率為100% -2.7%=97.3% 。簡(jiǎn)單吧？

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導(dǎo)彈攔截?cái)r截是個(gè)物理問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

問(wèn)題要是那么簡(jiǎn)單就好嘍。
學(xué)過(guò)概率論的人都知道，概率論是一門坑很多的學(xué)科，要不天下有開(kāi)賭場(chǎng)致富的非法路徑呢。概率論不是簡(jiǎn)單的拿個(gè)算式去算個(gè)數(shù)，要考慮問(wèn)題的物理圖像，物理圖像，物理圖像！
先說(shuō)說(shuō)中學(xué)物理里的常見(jiàn)的接燈泡問(wèn)題（偽物理問(wèn)題）。設(shè)有一種燈泡，接上電會(huì)亮的概率為 p=70%?{按說(shuō)就不該出廠}，問(wèn)三個(gè)燈泡串聯(lián)和并聯(lián)的情形下（圖2），教室有亮光的概率各是多少？如果是串聯(lián)，有一個(gè)不亮就把整個(gè)電路斷了，所以教室被照明的概率是表達(dá)式?(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3?右側(cè)的第一項(xiàng)，為34.3%；如果是并聯(lián)，但凡有一個(gè)燈泡是亮的就行，所以教室被照明的概率是表達(dá)式?(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3?前三項(xiàng)之和，也就是 1-q3?，為97.3%。

圖2. 三燈泡并聯(lián)電路
三個(gè)燈泡并聯(lián)的問(wèn)題， 與使用大炮轟擊一個(gè)目標(biāo)的問(wèn)題相同：三發(fā)炮彈齊發(fā)，但凡有一發(fā)轟擊到目標(biāo)，即算達(dá)到目標(biāo)。目標(biāo)被摧毀的概率可以按照前述算法計(jì)算。這里計(jì)算正確性的保證來(lái)自三發(fā)炮彈的獨(dú)立性。然而，關(guān)于三發(fā)導(dǎo)彈攔截一發(fā)來(lái)襲導(dǎo)彈成功率的計(jì)算，看似與三個(gè)燈泡并聯(lián)和三發(fā)炮彈齊發(fā)的問(wèn)題相同，但實(shí)際上卻有很大的差別。
設(shè)若敵方有一發(fā)導(dǎo)彈來(lái)襲，且來(lái)襲導(dǎo)彈在飛行途中，這時(shí)的反導(dǎo)大概就是所謂的中段反導(dǎo)（圖3）。若時(shí)間還允許，攔截方式大概是發(fā)射一發(fā)，如果成功，事情到此為止；如果不成功，趕緊補(bǔ)發(fā)一發(fā)。為什么不三發(fā)齊發(fā)呢？因?yàn)榉磳?dǎo)導(dǎo)彈太珍貴了，糟蹋不起。再者，導(dǎo)彈都是在高速運(yùn)行中的，三發(fā)齊發(fā)又不能做到同時(shí)擊中來(lái)襲導(dǎo)彈，則若一發(fā)擊中來(lái)襲導(dǎo)彈（這是我們的追求和目標(biāo)），其它兩發(fā)不是白浪費(fèi)了。這又不是炮彈轟擊敵陣地，一發(fā)擊中，補(bǔ)中兩發(fā)算是加強(qiáng)打擊效果。當(dāng)然了，實(shí)際測(cè)試反導(dǎo)導(dǎo)彈性能時(shí)，雙發(fā)齊發(fā)倒是真有的。三發(fā)齊發(fā)不是原則上不可以，而是實(shí)在沒(méi)那么豪氣。

圖3. 反導(dǎo)實(shí)驗(yàn)
如果敵方來(lái)襲導(dǎo)彈已經(jīng)接近目標(biāo)，這就是末段反導(dǎo)了。這時(shí)候的攔截務(wù)必要做到萬(wàn)無(wú)一失，特別是為了保護(hù)高價(jià)值目標(biāo)，為此可以不惜代價(jià)。這個(gè)階段的攔截手段一般使用近防炮。近防炮要形成一道動(dòng)態(tài)的彈幕，讓一段時(shí)間內(nèi)的來(lái)襲目標(biāo)，哪怕是一發(fā)炮彈，都不能通過(guò)。為此，近防炮的關(guān)鍵指標(biāo)是射速，一般在每分鐘6000發(fā)以上。我國(guó)新型船艦上使用的1130近防炮，射速超過(guò)每分鐘一萬(wàn)發(fā)以上，射擊距離在3公里左右（圖4）。一分鐘一萬(wàn)多發(fā)，速射十分鐘就是十多萬(wàn)發(fā)。十萬(wàn)發(fā)速射炮炮彈，你估計(jì)一下得多少錢？真打不起啊。

圖4. ?艦載近防炮射擊中

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來(lái)自反導(dǎo)的開(kāi)悟

在基礎(chǔ)物理中，描述一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，要用到質(zhì)量 m，速度 v（這是一個(gè)矢量），動(dòng)量 p=mv?(矢量)， 和動(dòng)能 Ek=?mv2?。按說(shuō)，有了質(zhì)量 m 和速度 v 就夠了，為啥還要用到動(dòng)量和動(dòng)能呢？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，筆者當(dāng)普物老師時(shí)沒(méi)想明白，但是盯著導(dǎo)彈和反導(dǎo)的示意圖（圖5）時(shí)我想明白了。

圖5. 導(dǎo)彈的變軌
首先，不管是導(dǎo)彈還是反導(dǎo)導(dǎo)彈，速度是硬道理。飛得夠快，才能追得上對(duì)手或者免于被對(duì)手追上。這就是我們的導(dǎo)彈追求高速的道理。據(jù)公開(kāi)信息，我國(guó)東風(fēng)17的速度約為10馬赫，東風(fēng)41的速度可達(dá)25馬赫，這速度是杠杠的。然而，導(dǎo)彈的高性能不光在于速度，還在于高機(jī)動(dòng)性。導(dǎo)彈在突襲或者反導(dǎo)的時(shí)候要能靈活地變軌，這要根據(jù)牛頓第二定律，?

，其中力F由推進(jìn)劑提供，可見(jiàn)動(dòng)量是相關(guān)的物理參數(shù)。注意，對(duì)于速度在10 馬赫量級(jí)的導(dǎo)彈，其不僅沒(méi)有戰(zhàn)斗部，在進(jìn)入大氣層后它還會(huì)因?yàn)楦咚亠w行被逐步燒蝕掉，所以導(dǎo)彈的質(zhì)量很關(guān)鍵。發(fā)射時(shí)質(zhì)量要足夠大，等到達(dá)目標(biāo)時(shí)我們希望其還能剩個(gè)1公斤左右。接近目標(biāo)后，導(dǎo)彈的毀傷能力則由動(dòng)能表征。大家不妨計(jì)算一下一個(gè)1公斤的導(dǎo)彈頭?(就是一塊金屬鎢)，速度為25馬赫時(shí)，動(dòng)能是多少？這樣大家對(duì)它的威力就心里有數(shù)啦！

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多余的話

寶島那位退將侯的概率論水平，有點(diǎn)可笑，但并不可怕。筆者遇到稍微深一層面的概率問(wèn)題，比如條件概率，就大概率會(huì)立馬出錯(cuò)。真正可怕的是，寶島退將侯這種水平的人是怎么當(dāng)上將軍的，是怎么能上電視節(jié)目給別人分析問(wèn)題的？21世紀(jì)，國(guó)家發(fā)展問(wèn)題首先是個(gè)科學(xué)問(wèn)題，軍事問(wèn)題也首先是個(gè)科學(xué)問(wèn)題，對(duì)此，我們要端正態(tài)度。

參考文獻(xiàn)

曹則賢，軍事物理學(xué)， 上海科技教育出版社 (2022).

出品：科普中國(guó)